此文适用于初中数学教师平时教学与中考复习备考十堰市2006中考数学卷24题评析这道考题编得巧湖北郧县实验中学华成斌十堰市2006年课改实验区初中毕业生学业考试第24题构思巧妙、设计新颖、独具匠心，不仅在思维上具有灵活性，而且在解法上具有开放性，是近年中考数学命题中难得的佳作。本文通过对该题的解析，阐发对数学教学的启示与思考。一、试题及特点[2006年十堰市中考题]如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于E，AE=2，ED=4。（1）求证：△ABE∽△ADB，并求AB的长；（2）延长DB于F，使BF=BO，连接FA，那么直线FA与⊙O相切吗？为什么？本题源自北师大版九年级《数学》下册第144页B组第4题。看似平常，但仔细分析，却能发现它集圆、三角形、相似形等初中平面几何的主要内容于一体，立意新、设计巧、解法活、内涵多，对考生的“双基”知识、思维推理、灵活创新等能力有一定要求。它源于教材且高于教材。第（1）小题考查了圆与等腰三角形、相似三角形的基础知识，通过证明∠ABC=∠ACB=∠ADB，不难证得△ABE∽△ADB，并求出AB=。第（2）小题，题型活、解法多，可以有充分的发挥空间。原题BD是⊙O的任一弦，现改编为BD是⊙O的直径，并延长DB到F，使BF=BO，试判断直线FA与⊙O是否相切，并说明理由。这一改，比原题递进一步，增加了难度、设置了梯度，但改得巧妙，令人称奇。二、解法及评析第（2）小题结论为直线FA与⊙O相切，但证法灵活多样。解法1：连接OA。利用直径所对的圆周角为直角及勾股定理，求得BD=，从而得到BF=BO=AB=，进而利用“在三角形中如果一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形”证得OA⊥FA，于是结论得证。简评：此法关键在于通过计算，证得BF=BO=AB，简洁明了，易于理解。解法2：连接OA。在Rt△ABD中，由，知∠ADB=30°，，FB=BO=AB，得△ABO是等边三角形，∠BAF=30°，∠OAF=∠OAB+∠BAF=60°+30°=90°，即OA⊥FA，于是结论得证。简评：此法思路灵活，用直角三角形的边角关系证，解法独特，颇具新意，值得推广。解法3：连接OA。先证BF=BO=AB，得△ABO是等边三角形，再证△ABD≌△BAD，得∠OAF=∠BAD=90°，即OA⊥FA，于是结论得证。简评：利用三角形全等，证明∠OAF为直角，也是证明二直线垂直较常用的方法。ABCODFEG解法4：连接OA、OC，设OA与BC相交于点G。易证四边形ABOC是菱形，得OA⊥BC，OG=AG，又BF=OB，所以GB是△OAF的中位线，BC∥FA，证得OA⊥FA，于是结论得证。简评：此法通过连接OA，证明四边形ABOC是菱形，然后利用菱形的性质与三角形中位线定理证明OA⊥FA，可谓另避溪径，殊途同归，证得巧妙。三、启示与思考1、正确的解题思路源于基础知识、基本技能的熟练掌握。本题难度并不大，只是在教材原题的基础上设置了一个台阶，使不少同学失去了方向。根本原因还在于对“双基”知识把握不牢固。所以在今后的教学中，要立足教材，抓好双基、夯实基础。只有一点一滴长期积累，才能厚积薄发，一蹴而就。可以说，基础知识、基本技能既是学好知识，提高能力的基础，也是中考答题的基础。2、着力培养学生的创新意识。近两年中考试题对学生的创新意识提出了较高的要求。本题解法多、创新意识强，要选择其中较为简便的方法与考生的创新意识密切相关。这就启发我们在平时的教学中，要大力发展学生的求异思维、发散思维、逆向思维等多角度、全方位考虑问题。3、重视对课本习题的拓展与挖掘。近两年中考试题源自教材的习题或例题比较常见。教材习题例题有极大的典型性和代表性，平时教学要注意充分地引申，挖掘其蕴含的深层潜力，做到一题多解、一题多变、融会贯通，这样才能得心应手。4、良好的解题习惯和规范的书写格式，要从一点一滴抓起。数学命题，逻辑性强，思维严谨。要求步步有据，逐层推进，书写规范，格式简明。所以在日常的教学中，一定要严格要求学生，促其养成良好的解题习题，这样才能有效地提高数学成绩。附：（全文1753字符）作者简介：华成斌，男，38岁，在职研究生，中学数学一级教师，十堰市三星级教师（市级骨干教师），已连续四年从事初三数学教学工作，现为郧县实验中学数学教研组长。通讯地址：湖北省郧县实验中学
