山东省高考数学 冲刺预测试卷之解答题(3)试卷VIP专享VIP免费

解答题（3）1、当地时间2011年3月11日下午2点46分左右，日本东北地区宫城县北部发生里氏8.9级特大地震，地震引发大海啸，导致福岛核电站发生爆炸，多座核反应堆泄漏辐射物质；为预防核辐射，某单位于2011年3月底投入10万元为各办公室购置了进口专用净化器．该单位所有净化器每年的运转总费用是0.05万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为0.2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加0.2万元．（1）求该单位使用专用净化器年的年平均费用（万元）；（2）为使该单位使用专用净化器的年平均费用最低，该单位几年后需要重新更换新的专用净化器？解：（1），即（）；（2）由均值不等式得：（万元）（当且仅当，即时取到等号．）答：该单位10年后需要重新更换新的专用净化器．2、从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升然后用水填满，再倒出1升混合溶液后又用水填满，这样继续进行……；设前n次共倒出纯酒精升，第n次倒出纯酒精升；（1）试求，；（2）设等差数列的前n项和为，，且，，求数列的通项公式．(3)若，其中、即为(1)、(2)中的数列、的第项，试求．解：(1)由题意容易看出：前n次共倒出的纯酒精是在前n－1次共倒出的纯酒精的基础上再加上第n次所倒的纯酒精，因为前n次共倒出纯酒精升，则前n－1次共倒出纯酒精升；所以第n－1次倒出并用水填满后，溶液的浓度为，再倒出1升混合溶液中所含纯酒精为升，所以，即；∴{－2}是以为公比的等比数列，且首项为－2＝1－2＝－1，∴，即；所以第n次倒出的纯酒精，又；故.(2)设等差数列的公差为d，则由已知的，得方程组由①得a1=d，由②得8a1+13d=42；∴a1=d=2；综上得：.(3)当(N*)时，当(N*)时，．3．如图，已知矩形ABCD中，AB=1,BC=，PA平面ABCD，且PA=1。(1)问BC边上是否存在点Q，使得PQQD?并说明理由；(2)若边上有且只有一个点Q，使得PQQD,求这时二面角Q的正切。3.解：(1)(如图)以A为原点建立空间直角坐标系,设，则Q,P(0,0,1),D得,由,有,得①若方程①有解,必为正数解，且小于。由,,得。(i)当时，BC上存在点Q,使PQQD；(ii)当时，BC上不存在点Q，使PQQD。(2)要使BC边上有且只有一个点Q,使PQQD,则方程①有两个相等的实根,这时,，得,有。又平面APD的法向量，设平面PQD的法向量为而，，由,得，解得有，则，则。所以二面角的正切为。4．已知双曲线C1：(a>0)，抛物线C2的顶点在原点O，C2的焦点是C1的左焦点F1。（1）求证：C1，C2总有两个不同的交点；（2）问：是否存在过C2的焦点F1的弦AB，使ΔAOB的面积有最大值或最小值？若存在，求直线AB的方程与SΔAOB的最值，若不存在，说明理由。4.解析：（1）由双曲线方程得，所以F1(,0)，抛物线焦点到准线的距离，抛物线：①把①代入C1方程得：②Δ=64a2>0，所以方程②必有两个不同实根，设为x1,x2,由韦达定理得x1x2=-a2<0，所以②必有一个负根设为x1,把x1代入①得y2=,所以（因为x1≠0），所以C1，C2总有两个不同交点。（2）设过F1(,0)的直线AB为my=(x+a),由得y2+4may-12a2=0，因为Δ=48m2a2+48a2>0，设y1,y2分别为A，B的纵坐标，则y1+y2=,y1y2=-12a2.所以(y1-y2)2=48a2(m2+1).所以SΔAOB=|y1-y2|•|OF1|=a•a•，当且仅当m=0时，SΔAOB的面积取最小值；当m→+∞时，SΔAOB→+∞，无最大值。所以存在过F的直线x=使ΔAOB面积有最小值6a2。