极值点偏移问题的两种常见解法之比较VIP免费

1极值点偏移问题的两种常见解法之比较浅谈部分导数压轴题的解法在高考导数压轴题中，不断出现极值点偏移问题，那么，什么是极值点偏移问题？参考陈宽宏、邢友宝、赖淑明等老师的文章，极值点偏移问题的表述是：已知函数是连续函数，在区间内有且只有一个极值点，且，若极值点左右的“增减速度”相同，常常有极值点，我们称这种状态为极值点不偏移；若极值点左右的“增减速度”不同，函数的图象不具有对称性，常常有极值点的情况，我们称这种状态为“极值点偏移”.极值点偏移问题常用两种方法证明：一是函数的单调性，若函数在区间内单调递增，则对区间内的任意两个变量，；若函数在区间内单调递减，则对区间内的任意两个变量，.二是利用“对数平均不等式”证明，什么是“对数平均”？什么又是“对数平均不等式”？两个正数和的对数平均数定义：对数平均数与算术平均数、几何平均数的大小关系是：，2（此式记为对数平均不等式）下面给出对数平均不等式的证明：i）当时，显然等号成立ii）当时，不妨设，①先证，要证，只须证：，令，只须证：设，则，所以在内单调递减，所以，即，故②再证：要证：，只须证：令，则只须证：，只须证设，，则所以在区间内单调递减，所以，即，故综上述，当时，3例1（2016年高考数学全国Ⅰ理科第21题）已知函数f(x)=(x−2)ex+a(x−1)2有两个零点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设x1,x2是f(x)的两个零点，证明：x1+x2<2．解：（Ⅰ）函数的定义域为，当时，，得，只有一个零点，不合题意；当时，当时，由得，，由得，，由得，，故，是的极小值点，也是的最小值点，所以又，故在区间内存在一个零点，即由又，所以，在区间存在唯一零点，即，故时，存在两个零点；当时，由得，，若，即时，，故在上单调递增，与题意不符若，即时，易证故在上只有一个零点，若，即时，易证，故在上只有一个零点综上述，（Ⅱ）解法一、根据函数的单调性证明由（Ⅰ）知，且4令，则因为，所以，所以，所以在内单调递增所以，即，所以，所以，因为，在区间内单调递减，所以，即解法二、利用对数平均不等式证明由（Ⅰ）知，，又所以，当时，且，故当时，，又因为即所以所以所以所以①下面用反证法证明不等式①成立因为，所以，所以假设，当，,与①矛盾；当时,与①矛盾，故假设不成立5所以例2（2011年高考数学辽宁卷理科第21题）已知函数（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）若曲线与轴交于两点，中点的横坐标为，证明：解：（Ⅰ）函数的定义域是当时，在区间内恒成立，即在区间内单调递增当时，由>0，得函数的递增区间，由<0，得函数的递减区间（Ⅱ）解法一、根据函数的单调性求解设点的横坐标分别为，则，且由（Ⅰ）知，当时，因为函数有两个不同的零点，所以，所以要证，只须证，即证令则，所以在内单调递增所以，即6因为，所以，所以又，且在区间内单调递减所以，即，故解法二、利用对数平均不等式求解设点的坐标分别为，则由（Ⅰ）知，当时，因为函数有两个不同的零点，所以，所以因为，所以所以，即所以，所以所以，所以.例3（2014年高考数学湖南卷文科第21题）已知函数（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）当时，求证：解：（Ⅰ）函数的定义域为R由，得，由，得函数的递增区间，由，得7函数的递减区间，所以（Ⅱ）解法一、利用函数的单调性求解令，则令则，则由得，，故在内单调递增故，故在内单调递增故，故，故在上单调递减所以，由（1）及知，，故所以，所以，又在上单调递增所以，，即解法二、利用对数平均不等式求解因为时，，时，，所以，，，所以，所以，所以，所以，8所以，①因为，所以下面用反证法证明，假设当时，，与不等式①矛盾当时，，所以，与不等式①矛盾.所以假设不成立，所以例4（2014年江苏省南通市二模第20题）设函数其图象与轴交于两点，且.（Ⅰ）求实数的取值范围；（Ⅱ）证明：为函数的导函数）；（Ⅲ）略.解：（Ⅰ），，当时，在R上恒成立，不合题意当时，易知，为函数的极值点，且是唯一极值点，故，当，即时，至多有一个零点，不合题意，故舍去；当，即时，由，且在内单调递减，故在有且只有一个零点；由令，则，故所以，即在有且只有一个零点.（Ⅱ）解法一...