倒易点阵与衍射西安交通大学材料物理系宋晓平2008.07一、倒易点阵基础z倒易点阵是一种数学方法z利用这一概念，可使晶体几何的问题大为简化。z对于一般的衍射现象其解释变得更加简单理解亦可更加深入。z对于复杂的衍射效应，它可以提供必要的门径。一、倒易点阵基础z晶体由质点按一定的规律排列而成，如果将这种周期排列规律抽象出来，就是空间点阵。z将空间点阵（真实点阵或实点阵）经过倒易变换，就得到倒易点阵。z倒易点阵的外形也很像点阵，但其上的结点并不代表质点，而是对应着真点阵的一组晶面。一、倒易点阵基础z真点阵中的一组晶面），在倒易空间中将用一个点Phkl表示z点子与晶面有倒易关系，这种关系表现为：点子取在（hkl）的法线H上，且Phkl点到倒易点阵原点的距离与晶面间距成反比。阵中倒易矢量的关系YZN(hkl)X（hklPhklO图1.晶体点阵中的晶面与倒易点一、倒易点阵基础z从原点到Phkl点的Z矢量称为倒易矢量，其大小为：Hhkl=k/dhklz式中k位比例系数，在多H数场合下取作1，但很多时候亦可令之等于X射线的波长。阵中倒易矢量的关系(hkl)XNPhklO图1.晶体点阵中的晶面与倒易点倒易矢量的数学定义z设真点阵的基本平移矢量为abcz设倒易点阵的基本平移矢量为a*b*c*za*·b=a*·c=b*·a=b*·c=c*·a=c*·b=0不同文字的倒易矢量与正矢量的数量积为零，其涵义为a*⊥b及c;c*⊥a及b;b*⊥a及c。za*·a=c*·c=b*·b=1同文字的倒易矢量与正矢量的数量积为1.倒易矢量的数学定义za*·a=c*·c=b*·b=1同文字的倒易矢量与正矢量的数量积为1的图形解释见图2.z从图2可知，ccosδ是（001）面的面间距d001，因此：c*·c=c*ccosδ=c*d001=1可得c*=1/d001Oa*图2.晶体点阵基矢与倒易点阵基矢的关系b*c*δcbγ(001)a倒易矢量的数学定义z从以上定义可知：（1）如果正点阵晶轴相互垂直，则倒易轴亦相互垂直且平行于晶轴。（2）倒易矢量可以表征真点阵（hkl）晶面的方位，而H（hkl）的长度可以表示（hkl）的晶面间距dhkl.倒易点阵的图形表示z系晶体与其倒易点阵的关4埃0.25埃-1z等于其对应晶面的间距的倒数，且与晶面相垂直。010z为整数)这样的倒易阵点，000对应着与（hkl）平行且间距为其1/n的点阵面。如图3中的H平行于是H图3是用平面图像表明立110H210b*ca(010)020120220(100)210(210)a**H，且图3.a=4埃的立方晶体及其倒易点阵的两倍。可以看出，H矢量的长度b(110)110必须指出，像nh,nk,nl(nc100200220110110系倒易点阵的应用举例z1、单胞体积z单胞体积等于底面积乘高。z底面积为absinγ=a×bz高是（001）面的面间距，为ccosδ故体积：V=absinγccosδ=（a×b）·c=（b×c）·a图2.晶体点阵基矢与倒易=（c×a）·bb*ac*δcbγ(001)Oa*点阵基矢的关系倒易点阵的应用举例2、晶面间距zHhkl=1/dhkl，两边平方得：zH2=1/d2=H·H=（ha*+kb*+lc*）·（ha*+kb*+lc*）==h2a*2+k2b*2+l2c*2+2hk(a*·b*)+2kl(b*·c*)+2kl(b*·c*)对立方晶系a*2=b*2=c*2，(a*·b*)=(b*·c*)=(b*·c*)=0代入上式得：1/d2=h2a*2+k2a*2+l2a*2=(h2+k2+l2)a*2==(h2+k2+l2)/a2故:d=a/√h2+k2+l2z对其他晶系，把参数带入公式中，可求出晶面间距。倒易点阵的应用举例3、晶带与晶带轴z若干个晶面族同时平行于某一轴向时，则这些晶面族属于同一晶带，而这个轴向就称为晶带轴。设晶带轴矢量=ua+vb+wc晶面族的任一个晶面的倒易矢量=ha*+kb*+lc*z若两个矢量互相垂直，则其数量积必为零，故（ua+vb+wc）·（ha*+kb*+lc*）=0简化可得：hu+kv+lw=0这就是判别晶面是否平行于某晶向的条件。二、衍射方程z倒易点阵不仅可使晶体几何学问题的解决简化，更为重要的是同衍射问题相联系。z设入射光波长为λ，其方向由单位质量S表示；衍射光方向由单位矢量S表示。θz设晶体沿三个轴方向的的那s0位矢量为a,b,c.若希望在S方向上的散射加强，则在与此相垂直的波阵面上，1-入射线；2-衍射线晶体中各原子的散射线的位相必须相同。θAmtθHhklsts-s0120nO图5、衍射关系说明图二、衍射方程z过O作垂直于SO的波阵面得m点；又过A作垂直于S的波阵面得n点，则O和A两个原子的散射线在S方向上的程差为：θzδ=On-Am=OA·S-OA·SO=OA·(S-SO)z相应的位相差为：Φ=2πδ/λ=...
