专题1.5:集合中计数问题的研究与拓展【拓展探究】探究1:记集合P={0,2,4,6,8},Q={m|m=100a1+10a2+a3,且a1,a2,a3ÎP},将集合Q中所有元素排成一个递增的数列,则此数列的第68项是_______.464探究2:设为整数,集合中的数由小到大组成数列,则_________.131思考1:数列的第项为__________.思考2:设为整数,集合中的数由小到大组成数列,试问当时的数列的最小项为数列的第________项;探究3:记集合0,1,2,3,4,5,6T,3124234,1,2,3,47777+++ÎiaaaaMaTi,将M中的元素按从大到小的顺序排列,则第2009个数是.3922401(本质是十进制转化为七进制表示)探究4:已知集合,其中,由中的元素构成两个相应的集合:,·2007·新疆奎屯wxckt@126.com特级教师http://wxc.833200.com王新敞源头学子小屋其中是有序数对,集合和中的元素个数分别为和·2007·新疆奎屯wxckt@126.com特级教师http://wxc.833200.com王新敞源头学子小屋若对于任意的,总有,则称集合具有性质·2007·新疆奎屯wxckt@126.com特级教师http://wxc.833200.com王新敞源头学子小屋(1)检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合,写出相应的集合和;(2)对任何具有性质的集合,证明:;(3)判断和的大小关系,并证明你的结论·2007·新疆奎屯wxckt@126.com特级教师http://wxc.833200.com王新敞源头学子小屋解:(1)集合不具有性质·2007·新疆奎屯wxckt@126.com特级教师http://wxc.833200.com王新敞源头学子小屋集合具有性质,其相应的集合和是,·2007·新疆奎屯wxckt@126.com特级教师http://wxc.833200.com王新敞源头学子小屋(2)证明:首先,由中元素构成的有序数对共有个·2007·新疆奎屯wxckt@126.com特级教师http://wxc.833200.com王新敞源头学子小屋因为,所以;又因为当时,时,,所以当时,·2007·新疆奎屯wxckt@126.com特级教师http://wxc.833200.com王新敞源头学子小屋从而,集合中元素的个数最多为,即·2007·新疆奎屯wxckt@126.com特级教师http://wxc.833200.com王新敞源头学子小屋(3)解:,证明如下:(1)对于,根据定义,,,且,从而·2007·新疆奎屯wxckt@126.com特级教师http://wxc.833200.com王新敞源头学子小屋如果与是的不同元素,那么与中至少有一个不成立,从而与中也至少有一个不成立·2007·新疆奎屯wxckt@126.com特级教师http://wxc.833200.com王新敞源头学子小屋故与也是的不同元素·2007·新疆奎屯wxckt@126.com特级教师http://wxc.833200.com王新敞源头学子小屋可见,中元素的个数不多于中元素的个数,即,(2)对于,根据定义,,,且,从而·2007·新疆奎屯wxckt@126.com特级教师http://wxc.833200.com王新敞源头学子小屋如果与是的不同元素,那么与中至少有一个不成立,从而与中也不至少有一个不成立,故与也是的不同元素·2007·新疆奎屯wxckt@126.com特级教师http://wxc.833200.com王新敞源头学子小屋可见,中元素的个数不多于中元素的个数,即,由(1)(2)可知,·2007·新疆奎屯wxckt@126.com特级教师http://wxc.833200.com王新敞源头学子小屋探究5:对于正整数,记,若的子集中至少含有两个元素,且中任意两个不同的元素之和不是整数的平方,则称为的“稀疏集”.(1)写出的所有稀疏集;(2)求n的最大值,使得能分成两个不相交的稀疏集的并.拓展:对正整数n,记1,2,3,,mIn,,mmmmPmIkIkÎÎ.(1)求集合7P中元素的个数;(2)若mP的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方,则称A为“稀疏集”,求,使mP能分成两人上不相交的稀疏集的并.探究6:集合,集合是S的子集,且满足,且,那么满足条件的子集的个数为____________83探究7:对于集合及它的每一个非空真子集,定义一个“交替和”如下:按照递减的次序重新排列该子集,然后从最大数开始交替的减、加后继的数.例如集合的交替和是,集合的交替和是5,当集合中的时,集合的所有非空子集为、、,则它的“交替和”的总和为.(1)计算对于的情况,计算它们的“交替和”的总和;(2)能否对(1)提出的问题进行一般性推广?并给出你的证明?变式1:设A是整数集的一个非空...