北邮数理方程课件 第三章 分离变量法VIP专享VIP免费

第三章分离变量法3。2基础训练3.2.1例题分析例1解下列定解问题：（1）解：分离变量，即令（2）代入方程（（1）中第一式），得（3）（4）其中为分离常数。（2）式代入边界条件（（1）中第二式），得（5）相应的本证值问题为求（6）的非零解．下面针对的取值情况进行讨论：（1）当时，（6）式中方程的通解是（7）其中A，B为积分常数，（7）代入（6）中边界条件，得（8）由（8）得A=B=0，得X（x）=0，为平凡解，故不可能有。(2)当时，（6）式中方程的通解是由边界条件得A=B=0，得X（x）=0，为平凡解，故也不可能有。（3）当时，上述固有值问题有非零解．此时式（6）的通解为代入条件（6）中边界条件，得由于，故，即从而得到一系列固有值与固有函数与这些固有值相对应的方程（3）的通解为于是，所求定解问题的解可表示为利用初始条件确定其中的任意常数，得故所求的解为例2演奏琵琶是把弦的某一点向旁边拨开一小段距离，然后放手任其自由振动。设弦长为，被拨开的点在弦长的(为正整数)处，拨开距离为，试求解弦的振动，即求解定解问题解：将代入原方程及边界条件得（1）（2）解(2)第一式可得由（2）的第二式得，将代入（1）并解得由初始条件得所以从而例3求解细杆的导热问题，杆长，两端保持零度，初始温度分布.解：该问题的定解问题为（1）令,代入(1)第一式可得，（2）（3）由(2)得（4）由(1)第三式可得，由得，由，得，于是有，，因此，将作Fourier展开得其中于是因此例4在矩形域内求Laplace方程（1）的解，使其满足边界条件解：令，代入式(1)，有（4）（5）又由边界条件(3)得(6)当时，式(5)的通解为由式(6)有由此得，即式(5)、(6)无非零解．当时，式(5)的通解为由，得．当时，式(5)的通解为由得，由得，得，即．由此可见，本征值为本征函数为将的值代入式(4)，解得故问题的一般解为(7)由边界条件得到一个无穷级数等于零，说明各项系数均为零，故(8)又由得将Ay展开成Fourier余弦级数，并比较系数有故(9)从式(8)和(9)中解得代入式(7)并整理得(10)例5带电云与大地之间的静电场近似匀强静电场，其电场强度是垂直的．水平架设的输电线处在这个静电场中．输电线是导体圆柱．柱面由于静电感应出现感应电荷，圆柱附近的静电场也就不再是匀强的了．不过，离圆柱“无限远”处的静电场仍保持匀强，现研究导体圆柱怎样改变了匀强静电场（即讨论导线附近的电场分布）．解：化成定解问题，取柱轴为z轴，设导线“无限长”，那么场强和电势都与z无关，只需在x，y平面上讨论．如图3-2所示，圆柱在x，y平面的截面是圆周作为静电场的边界，所以我们采用极坐标．柱外空间无电荷，电势满足二维Laplace方程，化成极坐标为(1)边界条件：导体中的电荷不再移动，说明导体中电势相同，又因为电势具有相对意义，可以把导体的电势当作零，故(2)“无穷远”处也为一个边界（圆内则考虑圆心点），“无穷远”处静电场仍为匀强静电场，由于选取了x轴平行，故有即因此有(3)图3-2输电线对带电云和大地之间电场的影响分离变量，令代入方程(1)，得(4)(5)因为极角具有周期性，应表示一个点，同一处的u应该相同，故有即所以有(6)方程(6)称为自然周期条件．方程(4)，(6)构成本征值问题，解之即方程(5)可以写成(7)为欧拉方程．作变换化成常系数线性微分方程，其通解为于是得到极坐标系中Laplace方程的本征解一般解应叠加(8)由边界条件(2)，有一个Fourier级数为零，各系数为零，即由此于是将解化简为(9)再由边界条件(3)，对于略去及项，即比较系数代入方程（9），导体周围的电势分布(10)例6长为l的理想传输线，一端接于电动势为的交流电源，另一端开路，求解线上的稳恒电振荡．解：经历交流电的许多周期后,初始条件所引起的自由振荡衰减到可以认为已经消失，这时的电振荡完全是由交流电源引起的，所以叫稳恒振荡．因此是没有初始条件的问题：为了计算方便，将电动势写成，最后将得到的解取虚部．由于振荡完全由交流电源引起，当然可以认为振荡的周期与交流电源相同，即令代入方程得即其通解为故有由得(1)及得(2)从式(1)，(2)中解出带入解的表达式，得取虚部，并以代入，得传输线内稳恒的电振荡例7试解出具有放射衰变的热传导方...