第九章 偏微分方程差分方法汇总VIP专享VIP免费

第9章偏微分方程的差分方法含有偏导数的微分方程称为偏微分方程。由于变量的增多和区域的复杂性，求偏微分方程的精确解一般是不可能的，经常采用数值方法求方程的近似解。偏微分方程的数值方法种类较多，最常用的方法是差分方法。差分方法具有格式简单，程序易于实现，计算量小等优点，特别适合于规则区域上偏微分方程的近似求解。本章将以一些典型的偏微分方程为例，介绍差分方法的基本原理和具体实现方法。9.1椭圆型方程边值问题的差分方法9.1.1差分方程的建立最典型的椭圆型方程是Poisson（泊松）方程（9.1）G是x,y平面上的有界区域，其边界Γ为分段光滑的闭曲线。当f(x,y)≡0时，方程（9.1）称为Laplace(拉普拉斯）方程。椭圆型方程的定解条件主要有如下三种边界条件第一边值条件（9.2）第二边值条件（9.3）第三边值条件（9.4）这里，n表示Γ上单位外法向，α(x,y),β(x,y),γ(x,y)和k(x,y)都是已知的函数，k(x,y)≥0。满足方程（9.1）和上述三种边值条件之一的光滑函数u(x,y)称为椭圆型方程边值问题的解。用差分方法求解偏微分方程，就是要求出精确解u(x,y)在区域G的一些离散节点（xi，yi）上的近似值ui,j≈(xi，yi）。差分方法的基本思想是，对求解区域G做网格剖分，将偏微分方程在网格节点上离散化，导出精确解在网格节点上近似值所满足的差分方程，最终通过求解差分方程，通常为一个线性方程组，得到精确解在离散节点上的近似值。设G={00,B(x,y)≥Bmin>0,E(x,y)≥0。引进半节点利用一阶中心差商公式，在节点（i,j）处可有对类似处理，就可推得求解方程（9.9）的差分方程172（9.10）其中（9.11）显然，当系数函数A(x,y)=B(x,y)=1,C(x,y)=D(x,y)=E(x,y)=0时，椭圆型方程（9.9）就成为Poisson方程（9.1），而差分方程（9.10）就成为差分方程（9.6）。容易看出，差分方程（9.10）的截断误差为阶。9.1.2一般区域的边界条件处理前面已假设G为矩形区域，现在考虑G为一般区域情形，这里主要涉及边界条件的处理。考虑Poisson方程第一边值问题（9.12）其中G可为平面上一般区域，例如为曲边区域。仍然用两...