第二章推理与证明(限时120分钟；满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．根据偶函数定义可推得“函数f(x)＝x2在R上是偶函数”的推理过程是A．归纳推理B．类比推理C．演绎推理D．非以上答案解析由偶函数定义，定义域关于原点对称的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数， f(x)＝x2时，f(－x)＝f(x)，∴“f(x)＝x2在R上是偶函数”是利用演绎推理．答案C2．命题“有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是A．使用了归纳推理B．使用了类比推理C．使用了“三段论”，但大前提错误D．使用了“三段论”，但小前提错误解析大前提错误，小前提正确，故选C.答案C3．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面________．”A．各正三角形内一点B．各正三角形的某高线上的点C．各正三角形的中心D．各正三角形外的某点解析正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心．答案C4．用反证法证明：若a≥b>0，则＋2－a≤＋2－b的假设为A.＋2－a<＋2－bB.＋2－a≥＋2－bC.＋2－a>＋2－bD.＋2－a≤＋2－b解析易知“≤”的否定为“>”，故选C.答案C5．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝A．28B．76C．123D．199解析利用归纳法，a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4＝3＋1，a4＋b4＝4＋3＝7，a5＋b5＝7＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123，规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和．答案C6．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N*)，验证n＝1时，左边应取的1项是A．1B．1＋2C．1＋2＋3D．1＋2＋3＋4解析n＝1时，n＋3＝4，∴左边＝1＋2＋3＋4.答案D7．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N＋)，可归纳猜想出Sn的表达式为A.B.C.D.解析由a1＝1，得a1＋a2＝22a2，∴a2＝，S2＝；又1＋＋a3＝32a3，∴a3＝，S3＝＝；又1＋＋＋a4＝16a4，得a4＝，S4＝.由S1＝，S2＝，S3＝，S4＝可以猜想Sn＝.答案A8．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝A．f(x)B．－f(x)C．g(x)D．－g(x)解析观察可知，偶函数f(x)的导函数g(x)都是奇函数，所以g(－x)＝－g(x)．答案D9．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值A．大于0B．小于0C．不小于0D．不大于0解析 (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)＝0，又 a2＋b2＋c2≥0，∴ab＋bc＋ca≤0.答案D10．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系是A．P＞QB．P＝QC．P＜QD．由a的取值确定解析 a(a＋5)＜(a＋3)(a＋2)，∴＜，∴2a＋5＋＜2a＋5＋，即(＋)2＜(＋)2，即P2＜Q2，∴P＜Q成立．答案C11．(2019·北京)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2＋y2＝1＋|x|y就是其中之一(如图)．给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.2其中，所有正确结论的序号是A．①B．②C．①②D．①②③解析由x2＋y2＝1＋|x|y，当x＝0时，y＝±1；当y＝0时，x＝±1；当y＝1时，x＝0或x＝±1.故曲线C恰好经过6个整点：A(0，1)，B(0，－1)，C(1，0)，D(1，1)，E(－1，0)，F(－1，1)，所以①正确．由基本不等式，当y＞0时，x2＋y2＝1＋|x|y＝1＋|xy|≤1＋，所以x2＋y2≤2，所以≤，故②正确．如图，由①知长方形CDFE面积为2，三角形BCE面积为1，所以曲线C所围成的“心形”区域的面积大于3，故③错误．答案C12．把数列{2n＋1}依次按第一个括号一个数，第二个括号二个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，…，循环分为(3)，(5，7)，(9，11，13)，(15，17，19，21)，(23)，(25，27)，(29，31，33)，(35，37，39，41)，(43)，…，则第104个括号内各数之和...
