§1.5二项式定理1．5.1二项式定理课时目标1.掌握二项式定理，掌握通项公式.2.弄清二项式系数与展开式中某项系数的联系和区别.3.能够用二项式定理进行有关的计算和证明．1．二项式定理(a＋b)n＝________________________________________________；二项展开式的通项：Tr＋1＝________________.2．二项式系数______(r＝0,1,2，…，n)叫做第r＋1项的二项式系数．一、填空题1．在(x2－)5的二项展开式中，含x4的项的系数是______．2．(－)10的展开式中含x的正整数指数幂的项数是________．3．如果(3x2－)n的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为________．4．(1＋)6(1＋)10展开式的常数项为________．5．(ax－)8的展开式中x2的系数是70，则实数a的值为________．6．(－)6的展开式中，x3的系数为________．7．已知(1＋kx2)6(k是正整数)的展开式中，x8的系数小于120，则k＝________.8．(1＋x＋x2)(x－)6的展开式中的常数项为______．二、解答题9．求230－3除以7的余数．10．已知(－)n(n∈N*)的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比是10∶1，(1)证明展开式中没有常数项；(2)求展开式中含x的项．能力提升11．若(x－)9的展开式中x3的系数是－84，则a＝________.12．若(＋)n的展开式中前三项系数成等差数列，求：(1)展开式中含x的一次幂的项；(2)展开式中所有x的有理项．11．通项公式Tr＋1＝Can－rbr(n∈N*，r＝0,1,2，…，n)中含有a，b，n，r，Tr＋1五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五个元素，在有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题(如判断和计算二项展开式中的特殊项)．2．注意二项式系数和系数的不同．1．5二项式定理1．5.1二项式定理答案知识梳理1．Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)Can－rbr2．C作业设计1．10解析∵(x2－)5的二项展开式的通项Tr＋1＝C(x2)5－r(－)r＝C·(－1)rx10－3r令10－3r＝4，∴r＝2.∴x4的系数是C(－1)2＝10.2．2解析Tr＋1＝Cx·(－)r·x－r＝C(－)r·x.若是正整数指数幂，则有为正整数，∴r可以取0,2，∴项数为2.3．5解析因为Tr＋1＝C(3x2)n－r(－2x－3)r＝(－2)r·3n－rCx2n－5r，则2n－5r＝0，即5r＝2n，所以或.故所求正整数n的最小值为5.4．4246解析(1＋)6的展开式有7项，通项为Tr＋1＝C()r＝Cx(r＝0,1,2，…，6)；(1＋)10的展开式有11项，通项为Ts＋1＝C()s＝Cx－(s＝0,1,2，…，10)；(1＋)6(1＋)10的展开式有77项，通项为CxCx－＝CCx，由4r－3s＝0得或或.故常数项为1＋CC＋CC＝4246.5．±1解析Tr＋1＝C(ax)8－r(－)r＝(－1)ra8－r·Cx8－r·x－，所以(8－r)＋(－)＝2，得r＝4，即有a4C＝70，所以a＝±1.6．15解析设含有x3项为第(r＋1)项，则Tr＋1＝C·()6－r·()r＝C·x6－r·y·(－y)r·x－＝C·x6－r－·y·(－y)r，令6－r－＝3，即r＝2，∴T3＝C·x3··y2＝C·x3，系数为C＝＝15.7．1解析x8是(1＋kx2)6的展开式的第5项，x8的系数为Ck4＝15k4，由已知，得15k4<120，即k4<8，又k是正整数，故k＝1.8．－5解析(1＋x＋x2)(x－)6＝(1＋x＋x2)[Cx6(－)0＋Cx5(－)1＋Cx4(－)2＋Cx3(－)3＋Cx2·(－)4＋Cx(－)5＋Cx0·(－)6]＝(1＋x＋x2)·(x6－6x4＋15x2－20＋－＋)，所以常数项为1×(－20)＋x2·＝－5.9．解230－3＝(23)10－3＝810－3＝(7＋1)10－3＝C710＋C79＋…＋C7＋C－3＝7(C79＋C78＋…＋C)－2＝7(C79＋C78＋…＋C)－7＋5.∴余数为5.10．(1)证明由题意知第5项的系数为C·(－2)4，2第3项的系数为C·(－2)2，则＝，解得n＝8，或n＝－3(舍去)．通项公式Tr＋1＝C()8－r·(－)r＝C(－2)r·x.若Tr＋1为常数项，当且仅当＝0，即5r＝8，且r∈N，这是不可能的，所以展开式中没有常数项．(2)解由(1)知，展开式中含x的项需＝，则r＝1，故展开式中含x的项为T2＝－16x.11．1解析由Tr＋1＝C·x9－r·(－)r＝(－a)rCx9－2r，令9－2r＝3，则r＝3，即(－a)3C＝－84，解得a＝1.12．解由已知条件得：C＋C·＝2C·，解得n＝8或n＝1(舍去)．(1)Tr＋1＝C()8－r()r＝C·2－r·x4－r，令4－r＝1，得r＝4，∴含x的一次幂的项为T4＋1＝C·2－4·x＝x.(2)令4－r∈Z(r≤8)，则只有当r＝0,4,8时，对应的项才是有理项，有理项分别为：T1＝x4，T5＝x，T9＝.3
