§1.5二项式定理1.5.1二项式定理课时目标1.掌握二项式定理,掌握通项公式.2.弄清二项式系数与展开式中某项系数的联系和区别.3.能够用二项式定理进行有关的计算和证明.1.二项式定理(a+b)n=________________________________________________;二项展开式的通项:Tr+1=________________.2.二项式系数______(r=0,1,2,…,n)叫做第r+1项的二项式系数.一、填空题1.在(x2-)5的二项展开式中,含x4的项的系数是______.2.(-)10的展开式中含x的正整数指数幂的项数是________.3.如果(3x2-)n的展开式中含有非零常数项,则正整数n的最小值为________.4.(1+)6(1+)10展开式的常数项为________.5.(ax-)8的展开式中x2的系数是70,则实数a的值为________.6.(-)6的展开式中,x3的系数为________.7.已知(1+kx2)6(k是正整数)的展开式中,x8的系数小于120,则k=________.8.(1+x+x2)(x-)6的展开式中的常数项为______.二、解答题9.求230-3除以7的余数.10.已知(-)n(n∈N*)的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比是10∶1,(1)证明展开式中没有常数项;(2)求展开式中含x的项.能力提升11.若(x-)9的展开式中x3的系数是-84,则a=________.12.若(+)n的展开式中前三项系数成等差数列,求:(1)展开式中含x的一次幂的项;(2)展开式中所有x的有理项.11.通项公式Tr+1=Can-rbr(n∈N*,r=0,1,2,…,n)中含有a,b,n,r,Tr+1五个元素,只要知道其中的四个元素,就可以求出第五个元素,在有关二项式定理的问题中,常常遇到已知这五个元素中的若干个,求另外几个元素的问题(如判断和计算二项展开式中的特殊项).2.注意二项式系数和系数的不同.1.5二项式定理1.5.1二项式定理答案知识梳理1.Can+Can-1b+…+Can-rbr+…+Cbn(n∈N*)Can-rbr2.C作业设计1.10解析∵(x2-)5的二项展开式的通项Tr+1=C(x2)5-r(-)r=C·(-1)rx10-3r令10-3r=4,∴r=2.∴x4的系数是C(-1)2=10.2.2解析Tr+1=Cx·(-)r·x-r=C(-)r·x.若是正整数指数幂,则有为正整数,∴r可以取0,2,∴项数为2.3.5解析因为Tr+1=C(3x2)n-r(-2x-3)r=(-2)r·3n-rCx2n-5r,则2n-5r=0,即5r=2n,所以或.故所求正整数n的最小值为5.4.4246解析(1+)6的展开式有7项,通项为Tr+1=C()r=Cx(r=0,1,2,…,6);(1+)10的展开式有11项,通项为Ts+1=C()s=Cx-(s=0,1,2,…,10);(1+)6(1+)10的展开式有77项,通项为CxCx-=CCx,由4r-3s=0得或或.故常数项为1+CC+CC=4246.5.±1解析Tr+1=C(ax)8-r(-)r=(-1)ra8-r·Cx8-r·x-,所以(8-r)+(-)=2,得r=4,即有a4C=70,所以a=±1.6.15解析设含有x3项为第(r+1)项,则Tr+1=C·()6-r·()r=C·x6-r·y·(-y)r·x-=C·x6-r-·y·(-y)r,令6-r-=3,即r=2,∴T3=C·x3··y2=C·x3,系数为C==15.7.1解析x8是(1+kx2)6的展开式的第5项,x8的系数为Ck4=15k4,由已知,得15k4<120,即k4<8,又k是正整数,故k=1.8.-5解析(1+x+x2)(x-)6=(1+x+x2)[Cx6(-)0+Cx5(-)1+Cx4(-)2+Cx3(-)3+Cx2·(-)4+Cx(-)5+Cx0·(-)6]=(1+x+x2)·(x6-6x4+15x2-20+-+),所以常数项为1×(-20)+x2·=-5.9.解230-3=(23)10-3=810-3=(7+1)10-3=C710+C79+…+C7+C-3=7(C79+C78+…+C)-2=7(C79+C78+…+C)-7+5.∴余数为5.10.(1)证明由题意知第5项的系数为C·(-2)4,2第3项的系数为C·(-2)2,则=,解得n=8,或n=-3(舍去).通项公式Tr+1=C()8-r·(-)r=C(-2)r·x.若Tr+1为常数项,当且仅当=0,即5r=8,且r∈N,这是不可能的,所以展开式中没有常数项.(2)解由(1)知,展开式中含x的项需=,则r=1,故展开式中含x的项为T2=-16x.11.1解析由Tr+1=C·x9-r·(-)r=(-a)rCx9-2r,令9-2r=3,则r=3,即(-a)3C=-84,解得a=1.12.解由已知条件得:C+C·=2C·,解得n=8或n=1(舍去).(1)Tr+1=C()8-r()r=C·2-r·x4-r,令4-r=1,得r=4,∴含x的一次幂的项为T4+1=C·2-4·x=x.(2)令4-r∈Z(r≤8),则只有当r=0,4,8时,对应的项才是有理项,有理项分别为:T1=x4,T5=x,T9=.3