1/5乐昌三中高二数学（理）苏教版选修2-1空间向量与立体几何单元测试一、选择题（每题5分共25分）1．在下列命题中：①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为czbyaxp．其中正确命题的个数为（）A．0B．1C．2D．32．已知a＝（2，－1，3），b＝（－1，4，－2），c＝（7，5，λ），若a、b、c三向量共面，则实数λ等于（）A．627B．637C．647D．6573．已知a+b+c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝19，则向量a与b之间的夹角ba,为（）A．30°B．45°C．60°D．以上都不对4．已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为（）A．2B．3C．4D．55已知i,j,k为单位正交基底，且的数量积等于与则bakjibkjia35,2,23（）A．－15B．－5C．－3D．－1二、填空题（每题5分共20分）6．已知向量)1,5,3(a，)3,2,2(b，)3,1,4(c，则向量cba432的坐标为.7．若a=(m＋1，n－1,3)，b=(m＋3,n－3,9)且a与b平行，则m+n=．8．设|m|＝1，|n|＝2，2m＋n与m－3n垂直，a＝4m－n，b＝7m＋2n，则
＝．9.已知空间四边形OABC,点M,N分别是边OA,BC的中点,且OA=a,OB=b,OC=c,用,,abc表示MN=.2/5空间向量与立体几何单元测试答题卷一、选择题（每题5分共25分）12345二、填空题（每题5分共20分）6.7.8.9.三、解答证明题10．（本题满分15分）如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DC的中点，取如图所示的空间直角坐标系．（1）写出A、B1、E、D1的坐标；（2）求AB1与D1E所成的角的余弦值．11.（本题满分20分）如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求证：EF⊥CD；（3）若PDA＝45，求EF与平面ABCD所成的角的大小．3/5CADBOE12.（本题满分20分）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，2,2.CACBCDBDABAD（I）求证：AO平面BCD；（II）求异面直线AB与CD所成角的余弦；（III）求二面角A-DC-B的余弦值．4/5xyzABCDPFE参考答案1-5ADCBA6．(16,0,19)8．0°9.1()2bca10．.(15分)解：(1)A(2,2,0)，B1(2,0,2)，E(0,1,0)，D1(0,2,2)(2)∵→AB1＝(0,-2,2)，→ED1＝(0,1,2)∴|→AB1|＝22，|→ED1|＝5，→AB1·→ED1＝0－2＋4＝2,∴cos→AB1，→ED1＝→AB1·→ED1|→AB1|·|→ED1|＝222×5＝1010．∴AB1与ED1所成的角的余弦值为1010．11．(20分)证：如图，建立空间直角坐标系A－xyz，设AB＝2a，BC＝2b，PA＝2c，则：A(0,0,0)，B(2a,0,0)，C(2a,2b,0)，D(0,2b,0)，P(0,0,2c)∵E为AB的中点，F为PC的中点∴E(a,0,0)，F(a,b,c)(1)∵→EF＝(0,b,c)，→AP＝(0,0,2c)，→AD＝(0,2b,0)∴→EF＝12(→AP＋→AD)∴→EF与→AP、→AD共面又∵E平面PAD∴EF∥平面PAD．(2)∵→CD＝(-2a,0,0)∴→CD·→EF＝(-2a,0,0)·(0,b,c)＝0∴CD⊥EF．(3)若PDA＝45，则有2b＝2c，即b＝c，∴→EF＝(0,b,b)，→AP＝(0,0,2b)∴cos→EF，→AP＝2b22b·2b＝22∴→EF，→AP＝45∵→AP⊥平面AC，∴→AP是平面AC的法向量∴EF与平面AC所成的角为：90－→EF，→AP＝45．12.【解】方法一：（I）证明：连结OC,,.BODOABADAOBD⋯⋯⋯1分,,.BODOBCCDCOBD在AOC中，由已知可得1,3.AOCO而2,AC222,AOCOAC90,oAOC即.AOOC⋯⋯⋯⋯⋯3分又,AOBDBDOCO，AO平面BCD⋯⋯⋯⋯⋯5分（II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知ME∥AB,OE∥DC直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角。⋯⋯⋯⋯⋯6分在OME中，5/5xCABODyzE121,1,222EMABOEDC⋯⋯⋯⋯⋯7分OM是直角AOC斜边AC上的中线，11,2OMAC⋯⋯⋯⋯⋯8分11/212cos,4212/2OEM异面直线AB与CD所成角大小的余弦为2/4；⋯⋯⋯⋯⋯9分方法二：（I）同方法一．⋯⋯⋯⋯⋯5分（II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则(1,0,0),(1,0,0),BD13(0,3,0),(0,0,1),(,,0),22CAE⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分(1,0,1),(1,3,0).BACD⋯⋯⋯⋯7分.2cos,,4BACDBACDBACD⋯⋯⋯9分异面直线AB与CD所成角大小的余弦为2/4；⋯⋯⋯⋯⋯10分（III）解：设平面ACD的法向量为(,,),nxyz则.(,,).(1,0,1)0,.(,,).(0,3,1)0,nADxyznACxyz⋯⋯⋯⋯⋯11分0,30.xzyz令1,y得(3,1,3)n是平面ACD的一个法向量．⋯⋯⋯⋯⋯12分
