课时作业(二十一)用向量方法解决平行与垂直问题A组基础巩固1．若n＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是()A．(0，－3,1)B．(2,0,1)C．(－2，－3,1)D．(－2,3，－1)解析：问题即求与n共线的一个向量．即n＝(2，－3，1)＝－(－2,3，－1)．答案：D2．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平面α平行，则z等于()A．3B．6C．－9D．9解析： l⊥α，v与平面α平行，∴u⊥v，即u·v＝0，∴1×3＋3×2＋z×1＝0，∴z＝－9.答案：C3．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个法向量是()A．(1,1，－1)B．(1，－1,1)C．(－1,1,1)D．(－1，－1，－1)解析：AB＝(－1,1,0)，AC＝(－1,0,1)．设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则有取x＝－1，则y＝－1，z＝－1.故平面ABC的一个法向量是(－1，－1，－1)．答案：D4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于()A．ACB．BDC．A1DD．A1A解析：建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1.则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，E，∴CE＝，AC＝(－1,1,0)，BD＝(－1，－1,0)，A1D＝(－1,0，－1)，A1A＝(0,0，－1)． CE·BD＝(－1)×＋(－1)×＋0×1＝0，∴CE⊥BD.答案：B5．若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1,2，－1)，v＝(－3，－6,3)，则()A．α∥βB．α⊥βC．α，β相交但不垂直D．以上均不正确解析： v＝－3u，∴α∥β.答案：A6．已知AB＝(1,5，－2)，BC＝(3,1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则BP等于()A.B.C.D.解析：由AB·BC＝0得3＋5－2z＝0，∴z＝4.又BP⊥平面ABC，∴即解得答案：C7．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果AB＝(2，－1，－4)，AD＝(4,2,0)，AP＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③AP是平面ABCD的法向量；④AP∥BD.其中正确的是__________．解析：由于AP·AB＝－1×2＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，AP·AD＝4×(－1)＋2×2＋0×(－1)＝0，1所以①②③正确．答案：①②③8．在直角坐标系Oxyz中，已知点P(2cosx＋1,2cos2x＋2,0)和点Q(cosx，－1,3)，其中x∈[0，π]，若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为________．解析：由OP⊥OQ，得OP·OQ＝0.即(2cosx＋1)·cosx＋(2cos2x＋2)·(－1)＝0.∴cosx＝0或cosx＝. x∈[0，π]，∴x＝或x＝.答案：或9．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥面B1DE，则AE＝________.解析：建立如图所示的坐标系，则B1(0,0,3a)，D，C(0，a,0)．设E(a,0，z)(0≤z≤3a)，则CE＝(a，－a，z)，B1E＝(a,0，z－3a)．由题意得2a2＋z2－3az＝0，解得z＝a或2a.故AE＝a或2a.答案：a或2a10．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥平面BDF.证明：(1)建立如图所示的空间直角坐标系．设AC∩BD＝N，连接NE，则点N，E的坐标分别是，(0,0,1)，∴NE＝.又点A，M的坐标分别是(，，0)，，∴AM＝.∴NE＝AM，且NE与AM不共线．∴NE∥AM.又 NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDE.(2)由(1)知AM＝，2 D(，0,0)，F(，，1)，∴DF＝(0，，1)．∴AM·DF＝0.∴AM⊥DF.同理AM⊥BF.又DF∩BF＝F，∴AM⊥平面BDF.B组能力提升11．直线l的方向向量为a，平面α内两共点向量OA，OB，下列关系中能表示l∥α的是()A．a＝OAB．a＝kOBC．a＝pOA＋λOBD．以上均不能解析：A、B、C均能表示l∥α或l⊂α.答案：D12．如图，已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于________．解析：如图，建立空间直角坐标系Axyz，则D(0，a,0)．设Q(1，x,0)(0≤x≤a)．P(0,0，z)．则PQ＝(1，x，－z)，QD＝(－1，a－x,0)．由PQ⊥QD，得－1＋x(a－x)＝0，即x2－ax＋1＝0.由题意知方程x2－ax＋1＝0只一解．∴Δ＝a2－4＝0，a＝2，这时x＝1∈[0，a]．答案：213．如图，在底面是菱形的四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝AC＝a，PB...
