3.1.2空间向量的数乘运算课后篇巩固提升1.下列说法正确的是()A.在平面内共线的向量在空间不一定共线B.在空间共线的向量在平面内不一定共线C.在平面内共线的向量在空间一定不共线D.在空间共线的向量在平面内一定共线答案D2.已知⃗MA,⃗MB是空间两个不共线的向量,⃗MC=3⃗MA-2⃗MB,那么必有()A.⃗MA,⃗MC共线B.⃗MB,⃗MC共线C.⃗MA,⃗MB,⃗MC共面D.⃗MA,⃗MB,⃗MC不共面解析由共面向量定理知,⃗MA,⃗MB,⃗MC共面.答案C3.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,点E为A1D1的中点,设⃗AB=a,⃗AD=b,⃗AA1=c,则⃗CE=()A.-a-12b+cB.a-12b+cC.a-12b-cD.a+12b-c解析根据向量的三角形法则得到⃗CE=⃗AE−⃗AC=⃗AA1+⃗A1E-(⃗AB+⃗BC)=c+12b-a-b=-a-12b+c.故选A.答案A4.1已知空间四边形O-ABC,点M,N分别是OA,BC的中点,且⃗OA=a,⃗OB=b,⃗OC=c,用a,b,c表示向量⃗MN为()A.12a+12b+12cB.12a-12b+12cC.-12a+12b+12cD.-12a+12b-12c解析如图所示,连接ON,AN,则⃗ON=12¿)=12(b+c),⃗AN=12¿)=12¿-2⃗OA+⃗OB)=12(-2a+b+c)=-a+12b+12c,所以⃗MN=12¿)=-12a+12b+12c,故选C.答案C5.如图所示,已知空间四边形OABC,其对角线OB,AC,M,N分别为OA,BC的中点,点G在线段MN上,且⃗MG=2⃗GN,若⃗OG=x⃗OA+y⃗OB+z⃗OC,则x+y+z=()A.16B.23C.56D.1解析⃗OG=⃗OM+⃗MG=12⃗OA+23⃗MN=12⃗OA+23(12⃗OB+12⃗OC-12⃗OA)=16⃗OA+13⃗OB+13⃗OC,因此x=16,y=z=13,故x+y+z=56.答案C26.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,M为空间任意两点,如果有⃗PM=⃗PB1+7⃗BA+6⃗AA1-4⃗A1D1,那么M必()A.在平面BAD1内B.在平面BA1D内C.在平面BA1D1内D.在平面AB1C1内解析由于⃗PM=⃗PB1+7⃗BA+6⃗AA1-4⃗A1D1=⃗PB1+⃗BA+6⃗BA1-4⃗A1D1=⃗PB1+⃗B1A1+6⃗BA1-4⃗A1D1=⃗PA1+6(⃗PA1−⃗PB)-4(⃗PD1−⃗PA1)=11⃗PA1-6⃗PB-4⃗PD1,因此M,B,A1,D1四点共面.答案C7.已知A,B,C三点不共线,O是平面ABC外任一点,若由⃗OP=15⃗OA+23⃗OB+λ⃗OC确定的一点P与A,B,C三点共面,则λ=.解析因为点P与A,B,C三点共面,所以15+23+λ=1,解得λ=215.答案2158.设e1,e2是空间两个不共线的向量,已知⃗AB=e1+ke2,⃗BC=5e1+4e2,⃗DC=-e1-2e2,且A,B,D三点共线,则实数k的值是.解析因为⃗BC=5e1+4e2,⃗DC=-e1-2e2,所以⃗BD=⃗BC+⃗CD=(5e1+4e2)+(e1+2e2)=6e1+6e2.又因为A,B,D三点共线,所以⃗AB=λ⃗BD,所以e1+ke2=λ(6e1+6e2).因为e1,e2是不共线向量,所以{1=6λ,k=6λ,故k=1.答案19.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点M为DD1的中点,点N在AC上,且AN∶NC=2∶1,求证:⃗A1N与⃗A1B,⃗A1M共面.证明∵⃗A1B=⃗AB−⃗AA1,⃗A1M=⃗A1D1+⃗D1M=⃗AD−12⃗AA1,⃗AN=23⃗AC=23¿),3∴⃗A1N=⃗AN−⃗AA1=23¿)-⃗AA1=23¿)+23⃗AD−12⃗AA1=23⃗A1B+23⃗A1M,∴⃗A1N与⃗A1B,⃗A1M共面.10.如图,已知空间四边形ABCD,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是边CB,CD上的点,且⃗CF=23⃗CB,⃗CG=23⃗CD.求证:四边形EFGH是梯形.证明∵E,H分别是边AB,AD的中点,∴⃗AE=12⃗AB,⃗AH=12⃗AD,∴⃗EH=⃗AH−⃗AE=12⃗AD−12⃗AB=12⃗BD.又∵⃗FG=⃗CG−⃗CF=23⃗CD−23⃗CB=23¿)=23⃗BD,∴⃗EH=34⃗FG,∴⃗EH∥⃗FG,|⃗EH|=34∨⃗FG|.又∵点F不在EH上,∴四边形EFGH是梯形.4
