2016-2017学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.1用向量方法解决平行与垂直问题高效测评新人教A版选修2-1一、选择题(每小题5分，共20分)1．若直线l的方向向量为a＝(－1,0，－2)，平面α的法向量为u＝(4,0,8)，则()A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α斜交解析：u＝－4a，∴a∥u，∴l⊥α.答案：B2．若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1,2，－1)，v＝(－4，－8,4)，则()A．α∥βB．α⊥βC．α，β相交但不垂直D．以上均不正确解析： u＝－v，∴α∥β，故选A.答案：A3．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则能使l∥α(或l⊂α)的是()A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)解析： l∥α，∴a⊥n，经验证只有D中a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)，满足a⊥n，这是因为1×0＋(－1)×3＋3×1＝0.答案：D4．已知AB＝(1,5，－2)，BC＝(3,1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则向量BP等于()A.B.C.D.解析：AB·BC＝3＋5－2z＝0，故z＝4，由BP·AB＝x－1＋5y＋6＝0，且BP·BC＝3(x－1)＋y－12＝0，得x＝，y＝－.BP＝.答案：A二、填空题(每小题5分，共10分)5．有以下结论：①若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3,2)，则l1⊥l2.②若平面α、β的法向量分别为u＝(1,2，－2)，v＝(－2,3,2)，则α⊥β.③若直线l的方向向量为a＝(1,2，－2)，平面α的法向量为v＝(－2,3,2)，则l⊥α.④已知平面α、β的法向量分别为u＝(1,2，－2)，v＝(－2，y，z)，若α∥β，则y·z＝－16.以上结论正确的序号为________．(把你认为正确的序号都填上)解析：对于①：因为a·b＝0，∴l1⊥l2，①正确；对于②：因为u·v＝0，所以α⊥β，②正确；对于③：因为a·v＝0，所以l⊂α或l∥α，③错误；对于④：因为α∥β，所以u∥v，∴＝＝，∴y＝－4，z＝4，y·z＝－16，④正确．答案：①②④6．已知点A(3,4,0)，B(2,5,5)，C(0,3,5)，且四边形ABCD是平行四边形，则顶点D的坐1标为________．解析：方法一：设D点的坐标为(x，y，z)，根据题意，DC＝(－x，3－y,5－z)，AB＝(－1,1,5)，由于四边形ABCD是平行四边形，所以AB＝DC.所以(－x,3－y,5－z)＝(－1,1,5)，解得x＝1，y＝2，z＝0.所以D点的坐标为(1,2,0)．方法二：由于四边形ABCD是平行四边形，所以其对角线互相平分．设AC的中点为M，坐标为(x，y，z)，则(x，y，z)＝[(3,4,0)＋(0,3,5)]＝(3,7,5)＝.又设D点的坐标为(x0，y0，z0)，[(x0，y0，z0)＋(2,5,5)]＝，即＝，∴x0＝1，y0＝2，z0＝0，即D点的坐标为(1,2,0)．答案：(1,2,0)三、解答题(每小题10分，共20分)7．(1)设u，v分别是不同的平面α，β的法向量，根据下列条件判断α，β的位置关系：①u＝(－1,1，－2)，v＝；②u＝(3,0,0)，v＝(－2,0,0)；③u＝(4,2，－3)，v＝(1,4，－2)．(2)设u是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，根据下列条件判断α与l的位置关系：①u＝(2,2，－1)，a＝(－6,8,4)；②u＝(2，－3,0)，a＝(8，－12,0)；③u＝(1,4,5)，a＝(－2,4,0)．解析：(1)① u＝(－1,1，－2)，v＝，∴u·v＝－3＋2＋1＝0，∴u⊥v，∴α⊥β.② u＝(3,0,0)，v＝(－2,0,0)，∴u＝－v，∴u∥v，∴α∥β.③ u＝(4,2，－3)，v＝(1,4，－2)，∴u与v不共线也不垂直，∴α、β相交但不垂直．(2)① u＝(2,2，－1)，a＝(－6,8,4)，∴u·a＝－12－4＋16＝0，∴u⊥a，∴l⊂α或l∥α.② u＝(2，－3,0)，a＝(8，－12,0)，∴u＝a，∴u∥a，∴l⊥α.③ u＝(1,4,5)，a＝(－2,4,0)，∴u与a不共线也不垂直，∴l与α斜交．28．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：FC1∥平面ADE.证明：如图所示，建立空间直角坐标系D－xyz，则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2，2,2)，所以FC1＝(0,2,1)，DA＝(2,0,0)，AE＝(0,2,1)．设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则n1⊥DA，n1⊥AE，即，得，令z1＝2，则y1＝－1，所以n1＝(0，－1,2)．因为FC1·n1＝－2＋2＝0，所以FC1⊥n1.又因为FC1⊄平面ADE，所以FC1∥平面ADE.9．(10分)在四棱锥P－A...
