第二篇专题三第2讲三角恒等变换与解三角形[限时训练·素能提升](限时50分钟，满分76分)一、选择题(本题共6个小题，每小题5分，共30分)1．(2018·德州二模)若cos＝，则sin2α＝A.B.C．－D．－解析因为cos＝，sin2α＝cos＝2cos2－1＝－.答案D2．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝A．4B.C.D．2解析因为cosC＝2cos2－1＝2×－1＝－，所以由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC＝25＋1－2×5×1×＝32，所以AB＝4，故选A.答案A3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是A．3B.C.D．3解析c2＝(a－b)2＋6，即c2＝a2＋b2－2ab＋6，① C＝，由余弦定理得c2＝a2＋b2－ab，②由①和②得ab＝6，∴S△ABC＝absinC＝×6×＝.答案C4．(2018·阜阳模拟)已知cos＝，则cos＋sin2的值为A．－B.C.D．－解析cos＋sin2＝－cos＋sin2＝1－2cos2＋1－cos2＝2－3cos2＝.答案C5．(2018·广东七校联考)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA＝，a＝2，S△ABC＝，则b的值为A.B.C．2D．2解析因为△ABC为锐角三角形，sinA＝，所以cosA＝.由S△ABC＝bcsinA＝，得bc＝3.①由cosA＝得b2＋c2＝6，②联立①②，解得b＝，故选A.答案A6．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，a＝2，c＝，则C＝A.B.C.D.解析因为a＝2，c＝，所以由正弦定理可知，＝，故sinA＝sinC.又B＝π－(A＋C)，故sinB＋sinA(sinC－cosC)＝sin(A＋C)＋sinAsinC－sinAcosC＝sinAcosC＋cosAsinC＋sinAsinC－sinAcosC＝(sinA＋cosA)sinC＝0.又C为△ABC的内角，故sinC≠0，则sinA＋cosA＝0，即tanA＝－1.又A∈(0，π)，所以A＝.从而sinC＝sinA＝×＝.由A＝知C为锐角，故C＝.答案B二、填空题(本题共2小题，每小题5分，共10分)7．(2018·北京)若△ABC的面积为(a2＋c2－b2)，且∠C为钝角，则∠B＝________；的取值范围是________．解析△ABC的面积S＝acsinB＝(a2＋c2－b2)＝×2accosB，所以tanB＝，因为0°<∠B<180°，所以∠B＝60°.因为∠C为钝角，所以0°<∠A<30°，所以02，故的取值范围为(2，＋∞)．答案60°(2，＋∞)8．(2018·福州综合质检)如图，小明在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100m，汽车从B点到C点历时14s，则这辆汽车的速度约为________m/s(精确到0.1)．参考数据：≈1.414，≈2.236.解析因为小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，所以∠BAD＝60°，∠CAD＝45°.设这辆汽车的速度为vm/s，则BC＝14v，在Rt△ADB中，AB＝＝＝200.在Rt△ADC中，AC＝＝＝100.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC，所以(14v)2＝(100)2＋2002－2×100×200×cos135°，所以v＝≈22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6m/s.答案22.6三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)9．(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.(1)求cos∠ADB；(2)若DC＝2，求BC.解析(1)在△ABD中，由正弦定理得＝.由题设知，＝，所以sin∠ADB＝.由题设知，∠ADB<90°，所以cos∠ADB＝＝.(2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝.在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋DC2－2·BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×2×＝25.所以BC＝5.10．(2018·巴蜀质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知m＝(ccosC，1)，n＝(2，acosB＋bcosA)，且m⊥n.(1)若c2＝7b2，S△ABC＝2，求a，b的值；(2)若λsinAcosA＝sinA＋cosA，求实数λ的取值范围．解析(1) m⊥n，∴m·n＝2ccosC＋acosB＋bcosA＝0，由正弦定理得2sinCcosC＋sinAcosB＋sinBcosA＝0，∴2sinCcosC＝－sin(A＋B)＝－sinC.又C∈(0，π)，sinC≠0，∴cosC＝－，∴C＝.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，又c2＝7b2，∴a2－6b2＋ab＝0，∴a＝2b或a＝－3b(舍去)，又S△ABC＝absinC＝2，∴ab＝8，∴a＝4，b＝2.(2)由(1)得A为锐角，故sinAcosA≠0.又λsinAcosA＝sinA＋cosA，∴λ＝，设...
