课时提升作业(六十三)二项式定理(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2015·潍坊模拟)(x+2)8的展开式中x6的系数是()A.28B.56C.60D.112【解析】选C.该二项展开式的通项为Tr+1=x8-r2r=2rx8-r,令8-r=6,得r=2,得T3=22x6=60x6,所以x6的系数是60.2.(2015·武汉模拟)已知二项式的各项二项式系数之和为32,则该二项展开式的常数项为()A.10B.-10C.5D.-15【解析】选B.依题设知:2n=32,所以n=5,3.(2014·湖北高考)若二项式的展开式中的系数是84,则实数a=()【解题提示】考查二项式定理的通项公式.【解析】选C.因为Tr+1=·(2x)7-r·=·27-r·ar·x7-2r,令7-2r=-3,得r=5,所以·22·a5=84,解得a=1.4.在的展开式中,x的幂指数是整数的项共有()A.3项B.4项C.5项D.6项【解析】选C.Tr+1=,故当r=0,6,12,18,24时,幂指数为整数,共5项.5.在的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式中常数项是()A.-7B.7C.-28D.28【解题提示】由只有第5项的二项式系数最大,可得出n的值,利用二项展开式求出常数项.【解析】选B.由题意可知n=8,【加固训练】(2014·遵义模拟)(2-)8展开式中不含x4项的系数的和为()A.-1B.0C.1D.2【解析】选B.二项式的通项Tk+1=28-k(-1)k()k=28-k(-1)kx,令k=8,则T9=(-1)8x4=x4,所以x4的系数为1,令x=1,得展开式的所有项系数和为(2-1)8=1,所以不含x4项的系数的和为0.6.(2014·昆明模拟)若二项式的展开式中含有非零常数项,则正整数n的最小值为()A.3B.5C.7D.10【解析】选B.展开式的通项公式是Tr+1=x3n-3rx-2r=x3n-5r,若二项的展开式中含有非零常数项,则3n-5r=0,即n=(r=0,1,2,…,n),故当r=3时,此时n的最小值为5.7.(2015·沈阳模拟)(1+x)10(x>0)展开式中的常数项为()A.1B.()2C.D.【解析】选D.因为(1+x)10【加固训练】(2013·大纲版全国卷)(1+x)8·(1+y)4的展开式中x2y2的系数是()A.56B.84C.112D.168【解题提示】展开式中x2y2的项是由(1+x)8展开式中x2项与(1+y)4展开式中y2项相乘得到的.【解析】选D.x2y2的系数为·=168.二、填空题(每小题5分,共15分)8.的展开式中,常数项为15,则n的值为.【解析】Tr+1=(-1)rx2n-3r,令2n-3r=0,所以=15,又因为==15,所以n=6,r=4.答案:69.(2015·贵阳模拟)为落实素质教育,某中学拟从4个重点研究性课题和6个一般研究性课题中各选2个课题作为本年度该校启动的课题项目,若重点课题A和一般课题B至少有一个被选中的不同选法种数是k,那么二项式(1+kx2)6的展开式中,x4的系数为.【解析】用直接法:k=++=15+30+15=60,x4的系数为k2=15×3600=54000.答案:5400010.(2014·山东高考)若的展开式中x3项的系数为20,则a2+b2的最小值为.【解题提示】本题考查了二项式定理、基本不等式的应用,可先写出已知式子二项展开式的通项,然后利用基本不等式求出最值.【解析】将展开,得到Tr+1=a6-rbrx12-3r,令12-3r=3,得r=3.由a3b3=20,得ab=1,所以a2+b2≥2ab=2.答案:2(20分钟40分)1.(5分)已知(x+1)10=a1+a2x+a3x2+…+a11x10.若数列a1,a2,a3,…,ak(1≤k≤11,k∈Z)是一个单调递增数列,则k的最大值是()A.6B.7C.8D.5【解析】选A.由二项式定理知an=(n=1,2,3,…,11).又(x+1)10展开式中二项式系数最大项是第6项.所以a6=,则k的最大值为6.2.(5分)的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为()A.-40B.-20C.20D.40【解题提示】乘积展开式的常数项是由中含x及的项分别与及x相乘后再相加得到的.【解析】选D.在中,令x=1,得(1+a)(2-1)5=1+a=2,所以a=1.因为展开式的通项Tr+1=(2x)5-r=·25-r(-1)r·x5-2r.令5-2r=1,得2r=4,即r=2,因此展开式中x的系数为25-2(-1)2=80.令5-2r=-1,得2r=6,即r=3,因此展开式中的系数为25-3·(-1)3=-40.所以展开式中常数项为80-40=40.3.(5分)(2015·南昌模拟)(1+ax+by)n展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243,不含y的项的系数绝对值的和为32,则a,b,n的值可能为()A.a=2,b=-1,n=5B.a=-2,b=-1,n=5C.a=-1,b=2,n=6D.a=1,b=2,n=5【解析】选D.令x=0,y=1,则(1+b)n=243=35,则b=2,n=5,令y=0,x=1,则(1+a)n=32=25,则a=1,n=5.4.(12分)(1+2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.【解析】T6=(2x)5,T7=(2x)6,依题意有·25=·26⇒n=8.所以(1+2x)8的展开式中...
