1.3曲线的极坐标方程1.4圆的极坐标方程课时过关·能力提升1圆心在点(1,0),且过极点的圆的极坐标方程为()A.ρ=1B.ρ=cosθC.ρ=2cosθD.ρ=2sinθ解析:圆的直角坐标方程是(x-1)2+y2=1,将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入上式,整理,得ρ=2cosθ,即为此圆的极坐标方程.答案:C2极坐标方程ρ2cosθ-ρ=0的直角坐标方程为()A.x2+y2=0或y=1B.x=1C.x2+y2=0或x=1D.y=1解析:∵ρ(ρcosθ-1)=0,∴ρ¿√x2+y2=0或ρcosθ=x=1.答案:C3在极坐标系中,与圆ρ=4cosθ相切的一条直线方程为()A.ρsinθ=4B.ρcosθ=2C.ρcosθ=4D.ρcosθ=-4解析:圆的极坐标方程化为直角坐标方程为(x-2)2+y2=4,四个选项所对应的直线方程化为直角坐标方程分别为y=4,x=2,x=4,x=-4,故选C.答案:C4极坐标方程分别是ρ=cosθ和ρ=sinθ的两个圆的圆心距是()A.2B.√2C.1D.√22解析:如图所示,两圆的圆心的极坐标分别是(12,0)和(12,π2),这两点间的距离是√22.答案:D5以极坐标系中的点(1,1)为圆心,1为半径的圆的方程是()A.ρ=2cos(θ-π4)B.ρ=2sin(θ-π4)C.ρ=2cos(θ-1)D.ρ=2sin(θ-1)1解析:如图所示,设圆心C(1,1),P(ρ,θ)为圆上任意一点,过C作CD⊥OP于点D.∵|CO|=|CP|,∴|OP|=2|DO|.在Rt△CDO中,∠DOC=θ-1,∴|DO|=cos(θ-1).∴|OP|=2cos(θ-1),∴ρ=2cos(θ-1).答案:C6直线√33x−y=0的极坐标方程为.¿≥0)解析:将x=ρcosθ,y=ρsinθ(ρ≥0)代入直角坐标方程得tanθ¿√33,则θ=π6或θ=7π6.故极坐标方程为θ=π6¿≥0)和θ¿76π¿≥0).答案:θ¿π6¿≥0)和θ¿7π6¿≥0)7在极坐标系中,定点A(1,π2),点B在直线l:ρcosθ+ρsinθ=0上运动,当线段AB最短时,点B的极坐标是.解析:将ρcosθ+ρsinθ=0化为直角坐标方程为x+y=0,点A(1,π2)化为直角坐标为A(0,1).如图,过点A作AB⊥直线l于点B,因为△AOB为等腰直角三角形,又|OA|=1,所以|OB|¿√22,∠BOx¿3π4,故点B的极坐标是B(√22,3π4).答案:(√22,3π4)8化下列曲线的极坐标方程为直角坐标方程,并判断曲线的形状.(1)ρcosθ=2;(2)ρ=6cosθ.解:(1)极坐标方程ρcosθ=2化为直角坐标方程为x=2,曲线是过点(2,0),垂直于x轴的直线.(2)∵ρ=6cosθ,∴ρ2=6ρcosθ,化为直角坐标方程为x2+y2-6x=0,即(x-3)2+y2=9.2故曲线是圆心为(3,0),半径为3的圆.9圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=4cosθ,ρ=-4sinθ.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)求经过圆O1,圆O2的交点的直线的直角坐标方程.解:以极点为原点,极轴为x轴正半轴,建立平面直角坐标系,两坐标系中取相同的长度单位.(1)x=ρcosθ,y=ρsinθ,由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ,所以x2+y2-4x=0,为圆O1的直角坐标方程.同理x2+y2+4y=0为圆O2的直角坐标方程.(2)由{x2+y2-4x=0,x2+y2+4y=0,解得{x1=0,y1=0,{x2=2,y2=-2.即圆O1、圆O2交于点(0,0)和(2,-2),过两圆交点的直线的直角坐标方程为y=-x.★10在极坐标系中,已知圆C的圆心C(3,π6),半径r=1,点Q在圆C上运动.(1)求圆C的极坐标方程;(2)若点P在直线OQ上,且⃗OQ=23⃗QP,求动点P的轨迹的极坐标方程.解:(1)圆C的圆心坐标化为平面直角坐标为(3√32,32),所以圆C的平面直角坐标方程为(x-3√32)2+(y-32)2=1,化为极坐标方程为ρ2-6ρcos(θ-π6)+8=0.(2)设点P的坐标为(ρ,θ),点Q的坐标为(ρ0,θ0),则由题意可知{ρ0=25ρ,θ0=θ.因为点Q在圆C上,所以点Q的坐标适合圆C的方程,代入得(25ρ)2−6×25ρcos(θ-π6)+8=0,整理得动点P的轨迹方程为ρ2-15ρcos(θ-π6)+50=0.34
