热点探究课(四)立体几何中的高考热点问题[命题解读]1.立体几何是高考的重要内容，每年基本上都是一个解答题，两个选择题或填空题．客观题主要考查空间概念，点、线、面位置关系的判定、三视图．解答题主要采用“论证与计算”相结合的模式，即首先是利用定义、定理、公理等证明空间的线线、线面、面面平行或垂直，再利用空间向量进行空间角的计算.2.立体几何重点考查学生的空间想象能力、数学运算和逻辑推理论证能力．考查的热点是以几何体为载体的平行与垂直的证明、二面角的计算，平面图形的翻折，探索存在性问题，突出了转化化归思想与数形结合的思想方法．热点1空间点、线、面间的位置关系空间线线、线面、面面平行、垂直关系常与平面图形的有关性质及体积的计算等知识交汇考查，考查学生的空间想象能力和推理论证能力以及转化与化归思想，一般以解答题的形式出现，难度中等．如图1所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．图1(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE；(3)求三棱锥EABC的体积．[解](1)证明：在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥底面ABC，所以BB1⊥AB.2分又因为AB⊥BC，BB1∩BC＝B，所以AB⊥平面B1BCC1.又AB⊂平面ABE，所以平面ABE⊥平面B1BCC1.6分①②(2)证明：法一：如图①，取AB中点G，连接EG，FG.因为G，F分别是AB，BC的中点，所以FG∥AC，且FG＝AC.8分因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，所以FG∥EC1，且FG＝EC1.所以四边形FGEC1为平行四边形，所以C1F∥EG.又因为EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE，所以C1F∥平面ABE.10分法二：如图②，取AC的中点H，连接C1H，FH.1因为H，F分别是AC，BC的中点，所以HF∥AB.8分又因为E，H分别是A1C1，AC的中点，所以EC1綊AH，所以四边形EAHC1为平行四边形，所以C1H∥AE，又C1H∩HF＝H，AE∩AB＝A，所以平面ABE∥平面C1HF.又C1F⊂平面C1HF，所以C1F∥平面ABE.10分(3)因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，所以AB＝＝.12分所以三棱锥EABC的体积V＝S△ABC·AA1＝×××1×2＝.15分[规律方法]1.(1)证明面面垂直，将“面面垂直”问题转化为“线面垂直”问题，再将“线面垂直”问题转化为“线线垂直”问题．(2)证明C1F∥平面ABE：①利用判定定理，关键是在平面ABE中找(作)出直线EG，且满足C1F∥EG.②利用面面平行的性质定理证明线面平行，则先要确定一个平面C1HF满足面面平行，实施线面平行、面面平行的转化．2．计算几何体的体积时，能直接用公式时，关键是确定几何体的高，而不能直接用公式时，注意进行体积的转化．[对点训练1](2017·天津联考)如图2，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，△ABE为等边三角形，且平面ABCD⊥平面ABE，CD＝BC＝AB＝1，点P为CE的中点．图2(1)求证：AB⊥DE；(2)求DE与平面ABCD所成角的大小；(3)求三棱锥DABP的体积.【导学号：51062252】[解](1)证明：取AB的中点O，连接OD，OE. △ABE是正三角形，∴AB⊥OE. 四边形ABCD是直角梯形，DC＝AB，AB∥CD，∴四边形OBCD是平行四边形，OD∥BC.3分又AB⊥BC，∴AB⊥OD. OD，OE⊂平面ODE，且OD∩OE＝O，∴AB⊥平面ODE.2 DE⊂平面ODE，∴AB⊥DE.5分(2) 平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE＝AB，OE⊥AB，OE⊂平面ABE，∴OE⊥平面ABCD，∴∠ODE即为所求，在△ODE中，OD＝1，OE＝，∠DOE＝90°，∴tan∠ODE＝.又 ∠ODE为锐角，∴∠ODE＝60°.10分(3) P为CE的中点，∴V三棱锥DABP＝V三棱锥PABD＝V三棱锥EABD.12分 OE⊥平面ABCD，∴V三棱锥EABD＝S△ABD·OE＝××＝，∴V三棱锥DABP＝V三棱锥PABD＝V三棱锥EABD＝.15分热点2平面图形折叠成空间几何体(答题模板)将平面图形折叠成空间几何体，并以此为载体考查点、线、面间的位置关系及有关几何量的计算是近年高考的热点，考查学生的空间想象能力、知识迁移能力和转化思想．试题以解答题为主要呈现形式，中档难度．(本小题满分15分)如图3，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF＝，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′＝.图3(1)证明：D′H⊥平面ABCD；(2)求二面角BD′AC的正弦值．[思路点拨](1)利用已知条件...
