高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 3.1 二维形式的柯西不等式自主训练 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学试题VIP免费

3.1二维形式的柯西不等式自主广场我夯基我达标1.函数y=xx625的最大值是()A.3B.5C.3D.5思路解析：根据柯西不等式，知y=1×5x+2×5)6()5(2162222xxx.答案：B2.已知a,b∈R+，且a+b=1，则（1414ba）2的最大值是()A.62B.6C.6D.12思路解析：(1414ba)2=(1×14a+1×14b)2≤(12+12)(4a+1+4b+1)=2［4(a+b)+2］=2(4×1+2)=12.答案：D3.已知x,y∈R+，且xy=1，则(1+x1)(1+y1)的最大值为()A.4B.2C.1D.41思路解析：（1+x1）(1+y1)=［12+(x1)2］［12+(y1)2］≥(1×1+x1×y1)2=(1+xy1)2=22=4.答案：A4.已知2x2+y2=1，则2x+y的最大值是()A.2B.2C.3D.3思路解析：2x+y=2×2x+1×y≤323)2(1)2(222222yxyx.答案：C5.设a,b,c,d,m,n都是正实数，P=cdab,Q=ndmbncma，则P与Q的大小______________.思路解析：由柯西不等式，得1P=2222)()()()(ndmbncamndncmbamndmbncam.答案：P≤Q6.已知a,b,x,y∈R+，且ab=4,x+y=1.求证：(ax+by)(bx+ay)≥4.证明：左边=［(ax)2+(by)2］［(bx)2+(ay)2］≥(ax×bx+by×ay)2=(ab×x+ab×y)2=ab(x+y)2=ab=4.我综合我发展7.设a,b,c>0，且acos2θ+bsin2θ1)交x轴、y轴的正半轴于M、N两点，试问：|MN|会小于2a吗？说明理由.解：当x=0时，y=|a-1|=a-1,当y=0时，x=|a+1|=a+1,∴椭圆交x、y轴正半轴的交点分别为M（a+1,0),N(0,a-1)两点.∴|MN|=(a+1)2+(a-1)2=222222)1()1(1121)1()1(aaaa21])1(1)1(1[212aa×2a=2a.∴|MN|可以小于2a.10.已知|x|≤1,|y|≤1，试求2211xyyx的最大值.思路解析：22221111xyxxyyx×y≤222222)1()1(yyxx=|1|=1.∴2211xyy的最大值为1.3