2016-2017学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.1空间向量及其加减运算高效测评新人教A版选修2-1一、选择题(每小题5分，共20分)1．在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，与向量A′B′的模相等的向量有()A．7个B．3个C．5个D．6个解析：|D′C′|＝|DC|＝|C′D′|＝|CD|＝|BA|＝|AB|＝|B′A′|＝|A′B′|.答案：A2．已知向量a，b是两个非零向量，a0，b0是与a，b同方向的单位向量，那么下列各式中正确的是()A．a0＝b0B．a0＝b0或a0＝－b0C．a0＝1D．|a0|＝|b0|解析：两单位向量的模都是1，但方向不一定相同或相反．答案：D3．下列命题是真命题的是()A．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反C．若向量AB，CD满足|AB|>|CD|，且AB与CD同向，则AB>CDD．若两个非零向量AB与CD满足AB＋CD＝0，则AB∥CD解析：A错．因为空间任两向量平移之后可共面，所以空间任两向量均共面．B错．因为|a|＝|b|仅表示a与b的模相等，与方向无关．C错．空间任两向量不研究大小关系，因此也就没有AB>CD这种写法．D对．∵AB＋CD＝0，∴AB＝－CD，∴AB与CD共线，故AB∥CD正确．答案：D4．已知向量AB，AC，BC满足|AB|＝|AC|＋|BC|，则()A.AB＝AC＋BCB.AB＝－AC－BCC.AC与BC同向D.AC与CB同向解析：由|AB|＝|AC|＋|BC|＝|AC|＋|CB|，知C点在线段AB上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以AC与CB同向．答案：D二、填空题(每小题5分，共10分)5．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，CA与C1A1是________向量，CB与B1C1是________向量．解析：CA綊C1A1，CB綊C1B1，所以CA＝C1A1，CB＝－B1C1.答案：相等相反6．下列命题中正确的是________．①如果a，b是两个单位向量，则|a|＝|b|；②两个空间向量共线，则这两个向量方向相同；③若a，b，c为非零向量，且a∥b，b∥c，则a∥c；④空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内．1解析：对于①：由单位向量的定义即得|a|＝|b|＝1，故①正确；对于②：共线不一定同向，故②错；对于③：正确；对于④：正确，在空间任取一点，过此点引两个与已知非零向量相等的向量，而这两个向量所在的直线相交于此点，两条相交直线确定一个平面，所以两个非零向量可以平移到同一平面内．答案：①③④三、解答题(每小题10分，共20分)7．如图，在长、宽、高分别为AB＝4，AD＝2，AA1＝1的长方体ABCD－A1B1C1D1中的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，(1)单位向量共有多少个？(2)写出模为的所有向量；(3)试写出AA1的相反向量．解析：(1)由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的向量AA1，A1A，BB1，B1B，DD1，D1D，CC1，C1C共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．(2)由于长方体的左右两侧的对角线长均为，故模为的向量有AD1，D1A，C1B，BC1，B1C，CB1，A1D，DA1.(3)向量AA1的相反向量为A1A，B1B，C1C，D1D.8．如图所示，已知长方体ABCD－A1B1C1D1，化简下列向量表达式：(1)AA1－CB；(2)AB1＋B1C1＋C1D1；(3)AD＋AB－A1A.解析：(1)AA1－CB＝AA1＋BC＝AA1＋A1D1＝AD1.(2)AB1＋B1C1＋C1D1＝AD1.(3)AD＋AB－A1A＝AD＋AB＋AA1＝(AD＋AB＋AA1)＝AC1.9．(10分)如图，已知空间四边形ABCD中，向量AB＝a，AC＝b，AD＝c，若M为BC中点，G为△BCD的重心，试用a，b，c表示下列向量：2(1)DM；(2)AG.解析：(1)连接AM，在△ADM中，DM＝DA＋AM，由线段中点的向量表示知，AM＝(AB＋AC)＝(a＋b)．由相反向量的概念知，DA＝－AD＝－c.所以DM＝DA＋AM＝(a＋b)－c＝(a＋b－2c)．(2)在△ADG中，注意到三角形重心的性质，得AG＝AD＋DG＝c＋DM＝c＋＝c＋(AB－AD＋AC－AD)＝c＋(a＋b－2c)＝(a＋b＋c)．3
