3.3.3函数的最大(小)值与导数课时跟踪检测一、选择题1．函数f(x)＝x3－12x＋1在闭区间[－3,0]上的最大值和最小值分别是()A．1，－1B．1，－17C．17,1D．9，－19解析：由f′(x)＝3x2－12＝0，得x＝2或x＝－2.又f(－3)＝－27＋36＋1＝10，f(－2)＝－8＋24＋1＝17，f(0)＝1，∴最大值为17，最小值为1.故选C.答案：C2．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在区间[0,3]上的最大值与最小值分别是()A．5，－4B．5，－15C．5，－16D．－4，－15解析：由已知得y′＝6x2－6x－12＝6(x＋1)(x－2)，令y′＝0，得x＝－1或x＝2.又x∈[0,3]∴x＝2. f(0)＝5，f(2)＝－15，f(3)＝－4.∴最大值为5，最小值为－15.故选B.答案：B3．对于函数f(x)＝ex－x在区间[1,2]上的最值，下列描述正确的是()A．最小值为e－1，没有最大值B．最大值为e2－2，没有最小值C．既没有最大值，也没有最小值D．最小值为e－1，最大值为e2－2解析：解法一： f(x)＝ex－x在闭区间[1,2]上有定义，∴f(x)在区间[1,2]上必存在最小值和最大值，故选D.解法二： f′(x)＝ex－1，当x∈[1,2]时，f′(x)>0恒成立，∴f(x)在[1,2]上为增函数，故存在最小值f(1)＝e－1，最大值f(2)＝e2－2.故选D.答案：D4．使函数f(x)＝x＋2cosx在上取最大值的x为()A．0B．C.D．解析： f(x)＝x＋2cosx，∴f′(x)＝1－2sinx.令f′(x)＝0，得sinx＝.又x∈，∴x＝.又f(0)＝2，f＝＋，f＝，∴函数f(x)在上的最大值为＋，此时x＝.故选B.答案：B5．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，x∈[－2,2]表示的曲线过原点，且在x＝±1处的切线斜率均为－1，有以下命题：①f(x)的解析式为：f(x)＝x3－4x，x∈[－2,2]；②f(x)的极值点有且仅有一个；③f(x)的最大值与最小值之和等于零．其中正确的命题个数为()1A．0B．1C．2D．3解析： f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由题可得解得∴f(x)＝x3－4x，①正确；f′(x)＝3x2－4，令f′(x)＝0，∴x＝±，∴f(x)有两个极值点，②错误；f(x)＝x3－4x是奇函数，∴f(x)max＋f(x)min＝0，③正确．故选C.答案：C6．(2019·沈阳月考)已知函数f(x)＝(b∈R)，∃m0，n0∈，使得对于∀x1，x2∈(m，n)，且x10在上有解，即b<＋x有解，∴b0，又 当x＝2，y＝；当x＝时，y＝，∴y的最大值为，∴b<，故选A.答案：A二、填空题7．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为________．解析：由f(x)＝2x3－6x2＋m，得f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)．令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.又f(0)＝m，f(2)＝m－8，f(－2)＝m－40，∴f(0)为最大值，∴m＝3，则m－40＝－37为最小值．答案：－378．(2019·镇江月考)已知函数f(x)＝ex，g(x)＝，若存在x1，x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)，则x2－x1的最小值为________．解析：令f(x1)＝g(x2)＝t，∴x1＝lnt，x2＝，∴x2－x1＝－lnt(t>0)，令h(t)＝－lnt，则h′(t)＝－，∴令h′(t)＝0，得t＝.当0时，h′(t)>0，则h(t)单调递增，∴当t＝时，h(t)有最小值，h＝－ln＝.答案：9．若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m，n，则m－n＝2________.解析： f(x)＝x3－3x－a，∴f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)．令f′(x)＝0，得x＝－1(舍去)或x＝1.又f(0)＝－a，f(1)＝－2－a，f(3)＝18－a，∴最大值m＝18－a，最小值n＝－2－a，∴m－n＝20.答案：20三、解答题10．已知函数f(x)＝x3－ax2＋bx.(1)当b＝－2时，f(x)在[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)当b＝3时，f(x)在x＝处取得极值，求函数f(x)在[1，a]上的值域．解：(1)当b＝－2时，f(x)＝x3－ax2－2x，∴f′(x)＝3x2－2ax－2， f(x)在[1，＋∞)上是增函数，∴f′(x)＝3x2－2ax－2≥0在区间[1，＋∞)上恒成立，即2ax≤3x2－2，∴2a≤＝3x－在区间[1，＋∞)上恒成立，令g(x)＝3x－，则g′(x)＝3＋>0，∴g(x)在[1，＋∞)上是单调增函数，∴2a≤g(1)＝1，即a≤，故实数a的取值范围为.(2)当b＝3时...
