3.1空间向量及其运算3.1.2空间向量的数乘运算A级基础巩固一、选择题1．下列命题中正确的是()A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线．B．向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面．C．零向量没有确定的方向．D．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb.答案：C2．已知两非零向量e1，e2，且e1与e2不共线，设a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R，且λ2＋μ2≠0)，则()A．a∥e1B．a∥e2C．a与e1、e2共面D．以上三种情况皆有可能答案：C3．对于空间任意一点O和不共线的三点A、B、C且有OP＝xOA＋yOB＋zOC(x，y，z∈R)，则x＋y＋z＝1是四点P、A、B、C共面的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：C4．下列命题中，不正确的命题个数为()①AB＋BC＋CD＋DA＝0；②|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；③若a、b共面，则a、b所在的直线在同一平面内；④若OP＝OA＋OB，则P、A、B三点共线．A．1B．2C．3D．4答案：C5．已知四面体ABCD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AC的中点，则(AB＋BC＋CE＋ED)化简的结果为()A.BFB.EHC.HGD.FG解析：(AB＋BC＋CE＋ED)＝(AC＋CE＋ED)＝(AE＋ED)＝×2HG＝HG.答案：C二、填空题6．已知向量a、b，且AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，则A、B、C、D中一定共线的三点是________．解析：BD＝BC＋CD＝2a＋4b＝2AB所以A、B、D三点共线．答案：A、B、D7．如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，A1E＝A1C1，若AE＝xAA1＋y(AB＋AD)，则x＝________，y＝________．1答案：18．已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为0的实数λ，m，n，使λOA＋mOB＋nOC＝0，那么λ＋m＋n的值为________．答案：0三、解答题9．已知M，G分别是空间四边形ABCD的两边BC，CD的中点，化简下列各式：(1)AB＋BC＋CD；(2)AB＋(BD＋BC)；(3)AG－(AB＋AC)．解：(1)如图所示，AB＋BC＋CD＝AC＋CD＝AD.(2)取BD的中点H，连接MG，GH.因为M，G分别为BC，CD的中点，所以BMGH为平行四边形，所以(BD＋BC)＝BH＋BM＝BG，从而AB＋(BD＋BC)＝AB＋BG＝AG.(3)分别取AB，AC的中点S，N，连接SM，AM，MN，则ASMN为平行四边形，所以(AB＋AC)＝AS＋AN＝AM，所以AG－(AB＋AC)＝AG－AM＝MG.10．如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点．证明：(1)如图，连接CD1、EF、A1B，2因为E、F分别是AB和AA1的中点，所以EF∥A1B且EF＝A1B.又因为A1D1∥BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形．所以A1B∥CD1，所以EF∥CD1.所以EF与CD1确定一个平面α.所以E、F、C、D1∈α，即E、C、D1、F四点共面．(2)由(1)知EF∥CD1，且EF＝CD1，所以四边形CD1FE是梯形，所以CE与D1F必相交，设交点为P，则P∈CE⊂平面ABCD，且P∈D1F⊂平面A1ADD1.所以P∈平面ABCD且P∈平面A1ADD1.又平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，所以P∈AD，所以CE、D1F、DA三线共点．B级能力提升1．已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有OM＝xOA＋OB＋OC，则x的值为()A．1B．0C．3D.答案：D2．如图所示，在四面体OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE＝________(用a，b，c表示)．解析：OE＝OA＋AE＝a＋AD＝a＋(OD－OA)＝a＋OD＝a＋×(OB＋OC)＝a＋b＋c.答案：a＋b＋c3．如图所示，四边形ABCD和四边形ABEF都是平行四边形，且不共面，M、N分别是AC、BF的中点，判断CE与MN是否共线．解：因为M、N分别是AC、BF的中点，而四边形ABCD、ABEF都是平行四边形，所以MN＝MA＋AF＋FN＝CA＋AF＋FB.又因为MN＝MC＋CE＋EB＋BN＝－CA＋CE－AF－FB，3所以CA＋AF＋FB＝－CA＋CE－AF－FB.所以CE＝CA＋2AF＋FB＝2(MA＋AF＋FN)．所以CE＝2MN.所以CE∥MN，即CE与MN共线．4
