第一讲坐标系一、平面直角坐标系[A级基础巩固]一、选择题1．将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是()A．椭圆B．比原来大的圆C．比原来小的圆D．双曲线解析：由伸缩变换的意义可知D项正确．答案：D2．将点P(－2，2)变换为P′(－6，1)的伸缩变换公式为()A.B.C.D.解析：设伸缩变换为则解得所以答案：C3．已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于()A．πB．4πC．8πD．9π解析：设P点的坐标为(x，y)，因为|PA|＝2|PB|，所以(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，即(x－2)2＋y2＝4.故点P的轨迹是以(2，0)为圆心、2为半径的圆，它的面积为4π.答案：B4．在同一平面直角坐标系中，将曲线y＝cos2x按伸缩变换后为()A．y′＝cosx′B．y′＝3cosx′C．y′＝2cosx′D．y′＝cos3x′解析：由得代入y＝cos2x，得＝cosx′，所以y′＝cosx′.答案：A5．在同一坐标系下，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线＋＝1，则曲线C的方程为()A．2x2＋y2＝1B．x2＋y2＝1C．x＋y＝1D．4x＋3y＝1解析：将代入曲线＋＝1.得x2＋y2＝1.所以曲线C的方程为x2＋y2＝1.答案：B二、填空题6．在平面直角坐标系xOy中，动点P到点(－1，0)的距离是到点(1，0)的距离的倍，则动点P的轨迹方程是________________．1解析：设P(x，y)，则＝，即x2＋2x＋1＋y2＝2(x2－2x＋1＋y2)，整理得x2＋y2－6x＋1＝0.答案：x2＋y2－6x＋1＝07．函数y＝tan按φ：变换后得到的曲线在上的值域为________．解析：由得代入y＝tan得y′＝tan，即y＝2tan，因为－＜x＜，所以－＜x＋＜，所以tan＞－，所以所求值域为.答案：8．已知f1(x)＝cosx，f2(x)＝cosωx(ω>0)，f2(x)的图象可以看作是把f1(x)的图象在其所在的坐标系中的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)而得到的，则ω为________．解析：函数f2(x)＝cosωx，x∈R(ω>0，ω≠1)的图象可以看作把余弦曲线上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的(纵坐标不变)而得到的，所以＝，即ω＝3.答案：3三、解答题9．已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AM|＝|BC|.证明：以Rt△ABC的直角边AB，AC所在直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设B，C两点的坐标分别为(b，0)，(0，c)．则M点的坐标为.由于|BC|＝，|AM|＝＝，故|AM|＝|BC|.10．将椭圆＋＝1变换成圆x2＋y2＝1，写出变换过程．解：令代入＋＝1得＋＝1，所以椭圆＋＝1经过平移变换后得到椭圆＋＝1，再令即代入＋＝1得x′2＋y′2＝1.所以椭圆＋＝1经过平移变换再经过伸缩变换后就得到圆x2＋y2＝1.[B级能力提升]1．平面直角坐标系中，在伸缩变换φ：作用下仍是其本身的点为________．解析：设P(x，y)在伸缩变换φ：作用下得到P′(λx，μy)．依题意得其中λ＞0，μ＞0，λ≠1，μ≠1.所以x＝y＝0，即P(0，0)为所求．答案：(0，0)2．在平面直角坐标系中，动点P和点M(－2，0)，N(2，0)满足|MN|·|MP|＋MN·NP＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为__________________．解析：设P(x，y)，由题意可知MN＝(4，0)，MP＝(x＋2，y)，NP＝(x－2，y)，由|MN|·|MP|＋MN·NP＝0，可知4＋4(x－2)＝0，化简，得y2＝－8x.2答案：y2＝－8x3．在正三角形ABC内有一动点P，已知P到三顶点的距离分别为|PA|，|PB|，|PC|，且满足|PA|2＝|PB|2＋|PC|2，求点P的轨迹方程．解：以BC的中点为原点，BC所在的直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，设点P(x，y)，B(－a，0)，C(a，0)，A(0，a)，且y>0，a>0.用点的坐标表示等式|PA|2＝|PB|2＋|PC|2，有x2＋(y－a)2＝(x＋a)2＋y2＋(x－a)2＋y2，化简得x2＋(y＋a)2＝(2a)2，即点P的轨迹方程为x2＋(y＋a)2＝4a2(y>0)．3
