第七节立体几何中的向量方法1．直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量．(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．2．空间位置关系的向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔n·m＝0l⊥αn∥m⇔n＝λm平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔n＝λmα⊥βn⊥m⇔n·m＝03.求两条异面直线所成的角设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则l1与l2所成的角θa与b的夹角〈a，b〉范围0<θ≤0＜〈a，b〉＜π关系cosθ＝|cos〈a，b〉|＝cos〈a，b〉＝4．求直线与平面所成的角设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈a，n〉|＝.5．求二面角的大小(1)若AB，CD分别是二面角αlβ的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB与CD的夹角(如图①)．图(2)设n1，n2分别是二面角αlβ的两个面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图②③)．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．()(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．()(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．()(4)两异面直线夹角的范围是，直线与平面所成角的范围是，二面角的范围是[0，π]．1[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)设u＝(－2,2，t)，v＝(6，－4,4)分别是平面α，β的法向量．若α⊥β，则t＝()A．3B．4C．5D．6C[ α⊥β，则u·v＝－2×6＋2×(－4)＋4t＝0，∴t＝5.]3．直三棱柱ABCA1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为()A.B.C.D.C[建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，设BC＝2，则B(0,2,0)，A(2,0,0)，M(1,1,2)，N(1,0,2)，所以BM＝(1，－1,2)，AN＝(－1,0,2)，故BM与AN所成角θ的余弦值cosθ＝＝＝.]4．如图771所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是________.【导学号：51062247】图771垂直[以A为原点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为1，则A(0,0,0)，M，O，N，AM·ON＝·＝0，∴ON与AM垂直．]5．(2017·湖州模拟)过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，则平面ABP与平面CDP所成的二面角为________．45°[如图，建立空间直角坐标系，设AB＝PA＝1，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)，由题意，AD⊥平面PAB，设E为PD的中点，连接AE，则AE⊥PD，又CD⊥平面PAD，∴CD⊥AE，从而AE⊥平面PCD.∴AD＝(0,1,0)，AE＝分别是平面PAB，平面PCD的法向量，且〈AD，AE〉＝45°.故平面PAB与平面PCD所成的二面角为45°.]2利用向量证明平行与垂直问题如图772所示，在底面是矩形的四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2.(1)求证：EF∥平面PAB；(2)求证：平面PAD⊥平面PDC.图772[证明]以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，所以E，F，EF＝，AP＝(0,0,1)，AD＝(0,2,0)，DC＝(1,0,0)，AB＝(1,0,0).3分(1)因为EF＝－AB，所以EF∥AB，即EF∥AB.又AB⊂平面PAB，EF⊄平面PAB，所以EF∥平面PAB.6分(2)因为AP·DC＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，AD·DC＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0，所以AP⊥DC，AD⊥DC，即AP⊥DC，AD⊥DC.10分又因为AP∩AD＝A，AP⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，所以DC⊥平面PAD.因为DC⊂平面PDC，所以平面PAD⊥平面PDC.15分[规律方法]1.利用向量证明平行与垂直，充分利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．2．运用向量知识判定空间位置关系，不可忽视几何...
