1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理典题精讲【例1】一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同.（1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？（2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？思路分析：欲完成从两个口袋内任取一个小球这件事，可有两类办法，或从第一个口袋取或从第二个口袋取，都能完成这件事，所以题（1）可用分类加法计数原理来解；欲完成从两个口袋内各取一个小球这件事，需分两个步骤，第一步从第一个口袋内任取1个小球，第二步从第二个口袋内任取1个小球，两个步骤都完成了这件事就解决了，因此题（2）可用分步乘法计数原理来解.解：（1）从两个口袋内任取1个小球，有两类办法：第一类办法是从第一个口袋内任取1个小球，可以从5个小球中任取1个，有5种方法；第二类办法是从第二个口袋内任取1个小球，可以从4个小球中任取1个，有4种方法.根据分类加法计数原理，得到不同的取法种数是N=m1+m2=5+4=9.所以从两个口袋内任取1个小球，有9种不同的取法.（2）从两个口袋内各取一个小球，可以分成两个步骤来完成：第一步是从第一个口袋内任取1个小球，有5种方法；第二步是从第二个口袋内任取1个小球，有4种方法.根据分步乘法计数原理，得到不同的取法的种数是N=m1×m2=5×4=20.所以从两个口袋内各取1个小球，有20种不同的取法.绿色通道：在用两个原理解决问题时，一定要分清完成这件事，是有n类办法还是需分成n个步骤,而判断“分步”还是“分类”，主要是看作一次能否完成整个事件，这是问题的实质所在.应用分类加法计数原理必须要求各类的每一种方法都能完成这件事.应用分步乘法计数原理则需要各步均是完成这件事必须经过的若干彼此相关联的步骤.变式训练1在夏季，一个女孩有红、绿、黄、白4件上衣，红、绿、黄、白、黑5条裙子，3双不同鞋子，3双不同丝袜，这位女孩夏季某一天去学校上学，有多少种不同的穿法?思路解析：此题在于完成穿衣这一件事：需分4个步骤：穿上衣、裙子、丝袜和鞋子才能完成整件事，其中各个步骤互不干扰又不可或缺.根据分步乘法计数原理，得到不同的穿法的种数为4×5×3×3=180.答案:180.变式训练2有不同的中文书7本，不同的英文书5本，不同的法文书3本，若从中选出不属于同一种文字的2本书，共有多少种选法？思路解析:先用分步乘法计数原理，后用分类加法计数原理.选中文、英文书各一本有7×5=35种选法，选中文、法文书各一本有7×3=21种选法，选英文、法文书各一本有5×3=15种选法，所以总共有35+21+15=71种不同的选法.答案：71.【例2】有四位同学参加三项不同的竞赛.(1)每位学生必须参加且只能参加一项竞赛，有多少种不同结果？(2)每项竞赛只许一位学生参加，有多少种不同结果？思路解析：（1）学生可以选择竞赛项目，而竞赛项目对于学生无条件限制，所以每位学生均有3个不同的机会.要完成这件事必须是每位学生参加的竞赛全部确定下来才行，因此需分四步.而每位学生均有3个不同机会，所以用分步乘法计数原理.（2）竞赛项目可挑选学生，而学生无选择项目的机会，每一个项目可挑选4个不同学生中的一个.要完成这件事必须是每1项竞赛所参加的学生全部确定下来才行，因此需分三步，用分步乘法计数原理.解：（1）3×3×3×3=34=81种.（2）4×4×4=43=64种.黑色陷阱：解答此题，先考虑学生问题还是竞赛问题才能很好地完成这件事，易把两问结果混淆；另外,每位学生选定竞赛或每项竞赛选定学生这一做法对完成整个事件的影响理解错误导致原理弄错，其原因是对题意理解不清，对事情完成的方式有错误的认识.变式训练1火车上有十名乘客，沿途有五个车站，乘客下车的可能方式有多少种？思路解析：本题应以“乘客”来考虑：十名乘客下车可看作十步，每人下车有5种方式，十名乘客不同下车方式有510种.答案:510种.变式训练2有4种不同溶液倒入5只不同的量杯,如果溶液足够多,每只量杯只能倒入一种溶液,有几种不同倒法?思路解析:由于5只不同的量杯都要倒进一种溶液（溶液足够多），量杯不能空置，故以“量杯”来考虑：5只不同的量杯各倒进一种溶液可看作5步，每个量杯都有4种溶液可供选择，由此可得倒法数...
