第一节数列的概念与简单表示法课时作业练1.数列{an}中,若a1=1,且对所有的n∈N*满足a1a2…an=n2,则a3+a5=.答案6116解析由题意得a1a2…an-1=(n-1)2(n≥2),∴an=n2(n-1)2(n≥2)a⇒3=94,a5=2516,∴a3+a5=6116.2.已知数列{an}的通项公式为an=n2-2λn(n∈N*),则“λ<1”是“数列{an}为递增数列”的条件.答案充分不必要3.(2018江苏宿迁第二次月考)无穷数列{an}:1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,…的首项是1,随后两项都是2,接下来3项都是3,再接下来4项都是4,以此类推,若an-1=20,an=21,则n=.答案211解析将数列{an}中的各项分组如下:(1),(2,2),(3,3,3),(4,4,4,4),…,则an-1=20是第20组第20个,an=21是第21组第1个,则n=1+2+3+…+20+1=20×(1+20)2+1=211.4.(2018江苏泰州中学月考)已知在数列{an}中,对于任意的p,q∈N*,都有ap+aq=ap+q,若a1=13,则a2018=.答案20183解析令q=1,则ap+a1=ap+1,ap+1-ap=a1=13,则数列{an}是首项和公差均为13的等差数列,所以an=n3,a2018=20183.5.(2018江苏海安高级中学月考)设an=-2n2+29n+3,则数列{an}中的最大项是.答案1081解析因为an=-2n2+29n+3=-2(n-294)2+8658,n∈N*,所以当n=7时,an取得最大值108.6.在数列{an}中,a1=2,an+1n+1=ann+ln(1+1n),则an=.答案2n+nlnn解析由题意得an+1n+1-ann=ln(n+1)-lnn,ann-an-1n-1=lnn-ln(n-1),n≥2,an-1n-1-an-2n-2=ln(n-1)-ln(n-2),n≥3,an-2n-2-an-3n-3=ln(n-2)-ln(n-3),n≥4,……,a22-a11=ln2-ln1,累加得ann-a11=lnn-ln1=lnn, a1=2,∴ann=2+lnn,∴an=2n+nlnn.7.(2018江苏南菁高级中学月考)已知Sn为数列{an}的前n项和,且log2(Sn+1)=n+1,则数列{an}的通项公式为.答案an={3,n=12n,n≥2,n∈N*解析由log2(Sn+1)=n+1,得Sn+1=2n+1,当n=1时,a1=S1=3;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n,因为a1=3不满足上式,所以数列{an}的通项公式为an={3,n=1,2n,n≥2,n∈N*.8.已知数列{an}中,an>0,a1=1,an+2=1an+1,a100=a96,则a2018+a3=.答案√522解析a3=1a1+1=12,a100=1a98+1=11a96+1+1=a96+1a96+2=a96,a96>0,解得a96=√5-12,则a98=1a96+1=√5-12,所以a2k=√5-12,k∈N*,则a2018+a3=√5-12+12=√52.9.设数列{an}满足a1+3a2+32a3+…+3n-1an=n3,则数列{an}的通项公式为.答案an=13n(n∈N*)解析 a1+3a2+32a3+…+3n-1an=n3,则当n≥2时,a1+3a2+32a3+…+3n-2an-1=n-13,两式左右两边分别相减得3n-1an=13,∴an=13n(n≥2).由题意知,a1=13符合上式,∴an=13n(n∈N*).10.(2018江苏天一中学月考)数列{an}满足an=n2+kn+2,且不等式an≥a4恒成立,则实数k的取值范围是.答案[-9,-7]11.(2018江苏泰州期末)在数列{an}中,a1=5,a2=4,数列{an}的前n项和Sn=A·2n+B(A,B为常数).(1)求实数A,B的值;(2)求数列{an}的通项公式.解析(1)S1=A·2+B=a1=5,S2=A·4+B=a1+a2=9A=2,B=1.⇒(2)因为Sn=2n+1+1,所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n,因为a1=5不满足an=2n,所以an={5,n=1,2n,n≥2.12.(2018江苏常州高级中学月考)已知数列{an}满足a1+2a2+22a3+…+2n-1an=n,n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式;3(2)求数列{(2n-13)an}的最大项.解析(1) a1+2a2+22a3+…+2n-1an=n,①∴当n≥2时,a1+2a2+22a3+…+2n-2an-1=n-1,②①-②得2n-1an=1,∴an=12n-1,n≥2.又 n=1时,a1=1也符合上式,∴an=12n-1,n∈N*.(2)令bn=(2n-13)an=2n-132n-1,则bn+1-bn=2n-112n-2n-132n-1=15-2n2n,则当n≤7时,bn+1>bn,当n≥8时,bn+1b9>…,∴(bn)max=b8=327=3128,故数列{(2n-13)an}的最大项是b8=3128.13.已知数列{an}中,a1=1,an=2Sn22Sn-1(n≥2).(1)求数列{Sn}的通项公式;(2)求数列{an}的通项公式.解析(1)由an=2Sn22Sn-1(n≥2)可得Sn-Sn-1=2Sn22Sn-1(n≥2),化简得Sn-1-Sn=2SnSn-1(n≥2),即1Sn-1Sn-1=2(n≥2).1S1=1a1=1,则{1Sn}是首项为1,公差为2的等差数列,则1Sn=1+2(n-1)=2n-1,n∈N*,所以Sn=12n-1,n∈N*.(2)当n≥2时,an=2Sn22Sn-1=2(2n-1)222n-1-1=2(2n-1)(3-2n),a1=1不符合上式,所以数列{an}的通项公式为4an={1,n=1,2(2n-1)(3-2n),n≥2.基础滚动练(滚动循环夯实基础)1.若函数f(x)=lnx-f'(-1)x2+3x-4,则f'(1)=.答案8解析f'(x)=1x-2f'(-1)x+3,令x=-1,得f'(-1)=-1+2f'(-1)+3,则f'(-1)=-2,则f'(x)=1x+4x+3,则f'(1)=8.2.(2018江苏如东高级中学高三...
