九年级数学锐角三角函数【本讲主要内容】锐角三角函数包括：正弦、余弦、正切。【知识掌握】【知识点精析】1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA。即；把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即；把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即。2.锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数。3.特殊角的三角函数值：30°45°60°sinαcosαtanα14.记忆方法：【解题方法指导】例1.（2000年成都市）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，D是AC的中点，那么tan∠DBC的值是________。锐角α三角函数分析：在Rt△ABC中，由∠ABC＝60°，可知，即AC＝BC，又CD＝AC，tan∠DBC可求。解：在△ABC中， ∠C＝90°，∠ABC＝60°，∴tan∠ABC＝tan60°＝，∴AC＝BC。又D是AC中点，∴DC＝AC＝BC。∴。评析：在解题中紧紧扣住tanα的定义。例2.（2001年四川）在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，已知，那么______。分析：由Rt△ABC中CD⊥AB于D，可得∠ACD＝∠B，由sin∠ACD＝，那么sinB＝，设AC＝2，AB＝3，则BC＝，则可求。解： ∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∴∠ACD＝∠B。又sin∠ACD＝sinB＝，可设AC＝2，AB＝3，∴BC＝。∴。评析：这里利用图中相等的角，把sin∠ACD转化为sinB，而sin∠ACD＝，我们设AC＝2，AB＝3，求得BC＝。如果更一般化，可设AC＝2m，AB＝3m，则BC＝m，同样可以求出的值。例3.（2004年北京市）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，若∠B＝30°，CD＝6，求AB的长。分析：图中有共三个直角三角形，都为应用锐角三角函数的定义创造了条件，已知∠B＝30°，CD＝6，则BC＝12，用cosB＝可求得AB，方法不唯一，可选择不同的方法去做。解法一：在△BCD中， ∠CDB＝90°，∠B＝30°，CD＝6，∴BC＝2CD＝12。在△ABC中，∠ACB＝90°，∴cosB＝，∴AB＝＝。解法二：在△ABC中， ∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD＝∠B＝30°。∴cos∠ACD＝，∴AC＝＝＝。在△ABC中，sinB＝，∴AB＝。评析：此图是双垂直图形，直角本角形多，相等的角也多，可以用不同的思路去解。【考点突破】【考点指要】锐角三角函数可以把直角三角形边之间的比转化为角的度数，因此作为一种解题工具，有着广泛的应用价值。无论是解直角三角形，还是有关几何图形的计算，都常常利用锐角三角函数加以解决。正因为锐角三角函数是一种解题工具，因此在中考时加大了检查的力度，我们应该熟练地掌握它，并学会应用。【典型例题分析】例1.（2002年北京市海淀区）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，EC＝1，sinB＝。求四边形ABCD的周长。分析：由菱形的特征可知AB＝BC，由EC＝1，可没法找到BE与EC的联系，即EC＝BC－BE＝AB－BE＝1，可列出方程求解。解：在Rt△ABE中， ∠AEB＝90°，sinB＝＝，∴设AE＝5k，AB＝13K。∴BE＝，又AB＝BC＝13k，∴BC－BE＝AB－BE＝EC，∴13k－12k＝1，k＝1∴AB＝13，周长为52。评析：此题图形并不复杂，但考查的知识却不少，而且通过设参数列出方程求解，很有寓意。因此在解题中，善于抓住直角三角形，把∠B的正弦与两边的比建立联系。例2.（2005年沈阳市）如图，在△ABC中，∠A＝30°，tanB＝，AC＝。则AB＝____。分析：设法使∠B处于一个直角三角形中，以便于应用tanB＝的条件。可作CD⊥AB于D。求出AD，再求出DB，则AB可求。解：作CD⊥AB于D。 ∠A＝30°，AC＝，∴CD＝，∴AD＝。 tanB＝，∴，∴DB＝2。∴AB＝AD+DB＝3+2＝5。评析：遇到某个角的三角函数值后，设法“回忆题”，使它处于某一个直角三角形中，从而应用三角函数的定义解题。例3（2005年沈阳市）在△ABC中，AB＝2，AC＝。∠B＝30°，则∠BAC的度数是_____。分析：先画一个草图，找到条件中线段、角所处的位置，然后再考虑到有无特殊情况。比如，图1中的△ABC中，AB＝2，AC＝，∠B＝30°，作AD垂直于直线BC于D，则AD＝，则可求出∠DAB＝60°，∠DAC＝45°（由），则∠BAC＝60°－45°＝15°。还有没有其他情况呢？图2中的钝三角形也符合条件。∠BAC＝60°+45°＝105°。解：作AD⊥直线BC于D。则有两种可能（如图1，图2）。当垂足D落在BC延长线上时...
