课时作业3合情推理时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分)1．数列，，2，…的一个通项公式是()A．an＝B．an＝C．an＝D．an＝解析：方法一：因为a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，由此猜测an＝，方法二：由a1＝可排除A、C、D，选B.答案：B2．下边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是()1121133114a4115101051A．2B．4C．6D．8解析：由杨辉三角形可以发现：每一行除1外，每个数都是它肩膀上的两数之和．故a＝3＋3＝6.答案：C3．类比平面正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，则在正四面体的下列性质中，你认为比较恰当的是()①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，任意相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形．A．①B．①②C．①②③D．③解析：由平面几何与立体几何的类比特点可知三条性质都是恰当的．答案：C4．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为()A．a1a2a3…a9＝29B．a1＋a2＋…＋a9＝29C．a1a2…a9＝2×9D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9解析：等比数列中的积运算类比等差数列中的和运算，从而有a1＋a2＋…＋a9＝2＋2＋…＋2＝2×9.1答案：D5．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2041，…，则72013的末两位数字为()A．01B．43C．07D．49解析：因为71＝7,72＝49,73＝343,74＝2401,75＝16807，76＝117649，…，所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且周期T＝4.又2013＝4×503＋1，所以72013的末两位数字与71的末两位数字相同，为07.答案：C6．将正整数排成下表：12345678910111213141516…则在表中数字2013出现在()A．第44行第78列B．第45行第78列C．第44行第77列D．第45行第77列解析：第n行有2n－1个数字，前n行的数字个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.∵442＝1936,452＝2025，且1936<2013<2025，∴2013在第45行．又2025－2013＝12，且第45行有2×45－1＝89个数字，∴2013在第89－12＝77列．答案：D二、填空题(每小题8分，共计24分)7．有下列不等式：a2＋b2≥2ab，a3＋b3≥a2b＋ab2，…，其中a，b都大于0，试猜想：若a，b都大于0，m，n∈N*，则am＋n＋bm＋n≥________.解析：由a2＋b2≥ab＋ab，a3＋b3≥a2b＋ab2，由此猜想，am＋n＋bm＋n≥ambn＋anbm.答案：ambn＋anbm8．在平面上，若两个正三角形的边长比为12，则它们的面积比为14.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为12，则它们的体积比为________．解析：＝＝·＝×＝.答案：189．下图(1)所示的图形有面积关系：＝，则下图(2)所示的图形有体积关系：＝________.2答案：三、解答题(共计40分)10．(10分)已知在数列{an}中，a1＝，an＋1＝，(1)求a2，a3，a4，a5的值；(2)猜想an.解：(1)a2＝＝＝＝，同理，a3＝＝＝，a4＝＝，a5＝＝，(2)猜想an＝.11．(15分)设函数f(x)＝(x>0)，观察：f1(x)＝f(x)＝，f2(x)＝f(f1(x))＝，f3(x)＝f(f2(x))＝，f4(x)＝f(f3(x))＝，…根据以上事实，由归纳推理归纳当n∈N*且n≥2时，fn(x)的表达式．解：由已知可归纳如下：f1(x)＝，f2(x)＝，f3(x)＝，f4(x)＝，…fn(x)＝.所以归纳得到当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝.12．(15分)在公比为4的等比数列{bn}中，若Tn是数列{bn}的前n项积，则有，，也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地，在公差为3的等差数列{an}中，若Sn是{an}的前n项和．(1)写出相应的结论，判断该结论是否正确？并加以证明；(2)写出该结论的一个更为一般的情形(不必证明)．解：(1)数列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差数列，且公差为300.该结论是正确的．证明如下：因为等差数列{an}的公差d＝3，所以(S30－S20)－(S20－S10)＝(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)＝10d＋10d＋…＋10d＝100d＝300，同理可得：(S40－S30)－(S30－S20)＝300，3所以数列S20－S10，S30－S20，S40－S30是等差数列，且公差为300.(2)对于任意k∈N*，都有数列S2k－Sk，S3k－S2k，S4k－S3k是等差数列，且公差为k2d.4
