课时作业(十一)定积分的概念A组基础巩固1．定积分(－3)dx等于()A．－6B．6C．－3D．3解析：由定积分的几何意义知，(－3)dx表示由x＝1，x＝3，y＝0及y＝－3所围成的矩形面积的相反数，故(－3)dx＝－6.答案：A2．已知定积分f(x)dx＝8，且f(x)为偶函数，则f(x)dx等于()A．0B．16C．12D．8解析：偶函数图象关于y轴对称，故f(x)dx＝2f(x)dx＝16.答案：B3．下列命题不正确的是()A．若f(x)是连续的奇函数，则f(x)dx＝0B．若f(x)是连续的偶函数，则f(x)dx＝2f(x)dxC．若f(x)在[a，b]上连续且恒正，则f(x)dx＞0D．若f(x)在[a，b]上连续且f(x)dx＞0，则f(x)在[a，b]上恒正解析：A项，因为f(x)是奇函数，图象关于原点对称，所以x轴上方的面积和x轴下方的面积相等，故积分是0，所以A项正确；B项，因为f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，故y轴两侧的图象都在x轴上方或下方且面积相等，故B项正确；由定积分的几何意义知，C项显然正确；D项，f(x)也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f(x)＞0的曲线围成的面积比f(x)＜0的曲线围成的面积大．答案：D4．设f(x)是[a，b]上的连续函数，则f(x)dx－f(t)dt的值()A．大于零B．等于零C．小于零D．不能确定解析：定积分的值只与被积函数和积分区间有关，与积分变量用什么字母表示无关.f(t)dx和f(x)dt都表示曲线y＝f(x)与x＝a，x＝b及y＝0所围成的曲边梯形的面积，它们的值相等．故选B.答案：B5．下列各阴影部分的面积S不可以用S＝[f(x)－g(x)]dx求出的是()ABCD解析：定积分S＝[f(x)－g(x)]dx的几何意义是求函数f(x)与g(x)之间的阴影部分的面积，必须注意f(x)的图象要在g(x)的图象上方．对照各选项可知，D项中f(x)的图象不全在g(x)的图象上方．故选D.答案：D6．若f(x)dx＝3，g(x)dx＝2，则[f(x)＋g(x)]dx＝__________.解析：∵[f(x)＋g(x)]dx＝f(x)dx＋g(x)dx＝3＋2＝5.答案：57．若cosxdx＝1，则由x＝0，x＝π，f(x)＝sinx及x轴围成的图形的面积为__________．解析：由正弦函数与余弦函数的图象，知f(x)＝sinx，x∈[0，π]的图象与x轴围成的图形面积等于g(x)＝cosx，x∈的图象与x轴围成的图形的面积的2倍，所以S＝sinxdx＝2.答案：28．直线x＝1，x＝－1，y＝0及曲线y＝x3＋sinx围成的平面图形的面积可表示为__________．解析：因y＝x3＋sinx为奇函数，故(x3＋sinx)dx＝－(x3＋sinx)dx＜0.所以S＝2(x3＋sinx)dx.答案：2(x3＋sinx)dx9．计算(－x3)dx的值．解析：如图阴影所示：1由定积分的几何意义得dx＝π×32＝π，x3dx＝0.由定积分的性质得(－x3)dx＝dx－－3x3dx＝π.B组能力提升10．已知函数f(x)＝求f(x)在区间[－1,3π]上的定积分．解析：由定积分的几何意义知：∵f(x)＝x5是奇函数，故x5dx＝0；sinxdx＝0(如图(1)所示)；xdx＝(1＋π)(π－1)＝(π2－1)(如图(2)所示)．图(1)图(2)∴f(x)dx＝x5dx＋xdx＋∫sinxdx＝xdx＝(π2－1)．11．求证：＜dx＜1.证明：如图，dx表示阴影部分面积，△OAB的面积是，正方形OABC的面积是1，显然，△OAB的面积＜阴影部分面积＜正方形OABC的面积，即＜dx＜1.2
