第4讲算法、推理及创新性问题以命题的推广给出的归纳、类比创新问题1.(2015福建省泉州五校高三联考)双曲线-=1(a>0,b>0)的两个焦点为F1,F2,若P为其上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为(1,3].若将其中的条件“|PF1|=2|PF2|”更换为“|PF1|=k|PF2|,k>0且k≠1”,试经过合情推理,得出双曲线离心率的取值范围是.解析:若|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为(1,3],区间前端点为1,后端点为3==.若将其中的条件“|PF1|=2|PF2|”更换为“|PF1|=k|PF2|,k>0且k≠1”,经过合情推理,得出双曲线离心率的取值范围是(1,].答案:(1,]2.观察下列不等式1+<,1++<,1+++<,……照此规律,第五个不等式为.解析:不完全归纳:第一个:1+<,第二个:1++<,第三个:1+++<,…归纳猜想:第n个:1+++…+<,故n=5时,1+++…+<.答案:1+++++<以新定义给出的创新问题3.(2015安徽省“江淮十校协作体”第一次联考)设函数f(x)的定义域为D,若∀x∈D,y∈D,∃使得f(y)=-f(x)成立,则称函数f(x)为“美丽函数”.下列所给出的五个函数:①y=x2;②y=;③f(x)=ln(2x+3);④y=2x+3;⑤y=2sinx-1.其中是“美丽函数”的序号有.解析:由题意知“美丽函数”即为值域关于原点对称的函数,容易判断仅有②③④符合题意.答案:②③④4.(2014安徽卷)若直线l与曲线C满足下列两个条件:(ⅰ)直线l在点P(x0,y0)处与曲线C相切;(ⅱ)曲线C在点P附近位于直线l的两侧,则称直线l在点P处“切过”曲线C.下列命题正确的是.(写出所有正确命题的编号)①直线l:y=0在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=x3②直线l:x=-1在点P(-1,0)处“切过”曲线C:y=(x+1)2③直线l:y=x在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=sinx④直线l:y=x在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=tanx⑤直线l:y=x-1在点P(1,0)处“切过”曲线C:y=lnx解析:①y=x3,y′=3x2,因此曲线C在点P(0,0)处的切线为y=0,结合函数y=x3的图象知,满足(ⅱ),故①正确.②直线x=-1为曲线C:y=(x+1)2的对称轴,不是切线,故②不正确.③y=sinx,y′=(sinx)′=cosx,因此,直线l:y=x在点P(0,0)处与曲线C相切,结合图象知满足(ⅱ),故③正确.④y=tanx,y′=(tanx)′=()′=,y′|x=0=1,曲线C在(0,0)处的切线为y=x,由正切函数图象知满足(ⅱ),故④正确.⑤y=lnx,y′=(lnx)′=,故曲线C:y=lnx在P(1,0)处的切线为y=x-1,但曲线y=lnx在直线y=x-1的同侧,故⑤不正确.综上知命题正确的是①③④.答案:①③④5.(2014湖北卷)设f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,且f(x)>0.对任意a>0,b>0,若经过点(a,f(a)),(b,-f(b))的直线与x轴的交点为(c,0),则称c为a,b关于函数f(x)的平均数,记为Mf(a,b).例如,当f(x)=1(x>0)时,可得Mf(a,b)=c=,即Mf(a,b)为a,b的算术平均数.(1)当f(x)=(x>0)时,Mf(a,b)为a,b的几何平均数;(2)当f(x)=(x>0)时,Mf(a,b)为a,b的调和平均数.(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)解析:过点(a,f(a)),(b,-f(b))的直线的方程为y-f(a)=(x-a),令y=0得c=.(1)令几何平均数=⇒f(a)+f(b)=bf(a)+af(b),可取f(x)=(x>0);(2)令调和平均数=⇒=,可取f(x)=x(x>0).答案:(1)(2)x(或(1)k1(2)k2x其中k1,k2为正常数均可)6.设f(x)的定义域为D,若f(x)满足条件:存在[a,b]D,⊆使f(x)在[a,b]上的值域是[,],则称f(x)为“倍缩函数”.若函数f(x)=ln(ex+t)为“倍缩函数”,则t的范围是(D)(A)(,+∞)(B)(0,1)(C)(0,)(D)(0,)解析:因为函数f(x)=ln(ex+t)为“倍缩函数”,所以存在[a,b]D,⊆使f(x)在[a,b]上的值域是[,],因为函数f(x)=ln(ex+t)为增函数,所以即即方程ex-+t=0有两个不等的正根,即解得t的范围是(0,).程序框图7.(2015广州市一模)一算法的程序框图如图,若输出的y=,则输入的x的值可能为(C)(A)-1(B)0(C)1(D)5解析:该算法的程序框图是一条件结构,功能是已知分段函数y=的函数值求相应的自变量x的值.当x>2时y=2x>4,若输出的y=,则sinx=,可得x=1时符合.故选C.8.(2015天津卷)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出i的值为(C)(A)2(B)3(C)4(D)5解析:第一次执行,i=1,S=10-1=9;第二次执行,i=2,S=9-2=7;第三次执行,i=3,S=7-3=4;第四次执行,i=4,S=4-4=0,满足条件,则退出循环,所以输出i的值为4.故选C.9.(2015山西省高三名校联盟考试)利用如图所示的程序框图在平面直角坐标系上打印一系列点,则打印的点落在函数...
