1.1数的概念的扩展课时过关·能力提升1.已知a,b∈R,则下列结论正确的是()A.a=0⇔a+bi为纯虚数B.b=0⇔a+bi为实数C.方程x2+1=0的解为iD.若a∈R,则(a+1)i是纯虚数答案:B2.已知复数z=(m2-1)-(m+1)i,其中m∈R.若z是纯虚数,则m=()A.1B.-1C.1或-1D.0解析:复数z=(m2-1)-(m+1)i是纯虚数,得{m2-1=0,-(m+1)≠0,解得m=1.故选A.答案:A3.已知a,b∈R,则“a=b”是“复数(a-b)+(a+b)i为纯虚数”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件答案:C4.复数6i+2i2的实部和虚部分别为()A.-2,6B.6,-2C.-2,6iD.6i,-21答案:A5.已知a∈R,且a+2i2为正实数,则a的取值范围是()A.(2,+∞)B.(-2,+∞)C.(-2,2)D.(-∞,-2)解析:∵a+2i2=a-2,∴由a-2>0,解得a>2.答案:A6.★已知实数a,x,y满足a2+2a+2xy+(a+x-y)i=0,则点(x,y)的轨迹是()A.直线B.圆心在原点的圆C.圆心不在原点的圆D.椭圆解析:由题意,得{a2+2a+2xy=0,a+x-y=0消去a,得(x-1)2+(y+1)2=2,它表示的轨迹是圆心为(1,-1),半径为√2的圆.答案:C7.复数z=(m2-2m-8)+(m2-3m-4)i,当实数m=时,z为纯虚数.解析:由z=(m2-2m-8)+(m2-3m-4)i为纯虚数,得{m2-2m-8=0,m2-3m-4≠0,解得m=-2.答案:-28.满足复数x2-2x-3+(9y2-6y+1)i是零的实数对(x,y)表示的点的个数为.解析:由题意,得{x2-2x-3=0,9y2-6y+1=0,2解得{x=-1,y=13或{x=3,y=13.答案:29.以复数z1=3i+2和复数z2=2i2-1的实部之和为虚部,虚部之和为实部的复数是.答案:3-i10.当实数m为何值时,复数z¿m2+m-6m+(m2−2m)i为(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数?分析:根据复数的分类标准→列出方程或不等式(组)→解出m→结论解:(1)当{m2-2m=0,m≠0,即m=2时,复数z是实数.(2)当m2-2m≠0,且m≠0,即m≠0,且m≠2时,复数z是虚数.(3)当{m2+m-6m=0,m≠0,m2-2m≠0,即m=-3时,复数z是纯虚数.11.已知复数z=x2-2x-3+[(log12x¿2−log12x−2¿i是虚部为正数的非纯虚数,求实数x的取值范围.解:由题意,知{x2-2x-3≠0,(log12x)2-log12x-2>0,解得{x≠3,且x≠-1,log12x<-1或log12x>2,即{x≠3,且x≠-1,x>2或03.所以实数x的取值范围是{x∈R|03}.12.★已知x∈R,复数z=log2(x2-3x-3)+ilog2(x-3),求证:复数z不可能是纯虚数.证明假设复数z为纯虚数,则必须满足{log2(x-3)≠0,log2(x2-3x-3)=0,x-3>0,x2-3x-3>0,所以{x-3≠1,x2-3x-3=1,x>3,x2-3x-3>0,即{x≠4,x=-1或x=4,x>3,x2-3x-3>0.易知无解,所以假设不成立.故复数z不可能为纯虚数.4
