【高考新坐标】2016届高考数学总复习第四章第3节平面向量的数量积课后作业[A级基础达标练]一、选择题1．(2014·课标全国卷Ⅱ)设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝()A．1B．2C．3D．5[解析]|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，将上面两式左右两边分别相减，得4a·b＝4，∴a·b＝1.[答案]A2．已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2，且a⊥(a＋b)，则a与b的夹角为()A.B.C.D.[解析]a⊥(a＋b)⇒a·(a＋b)＝a2＋a·b＝|a|2＋|a||b|·cos〈a，b〉＝0，故cos〈a，b〉＝－＝－，故所求夹角为.[答案]D3．(2014·山东高考)已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)．若向量a，b的夹角为，则实数m＝()A．2B.C．0D．－[解析]∵a·b＝(1，)·(3，m)＝3＋m，又a·b＝××cos，∴3＋m＝××cos，∴m＝.[答案]B4．在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则EC·EM的取值范围是()A.B.C.D．[0，1][解析]将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E(x，0)，0≤x≤1.又M，C(1，1)，所以EM＝，EC＝(1－x，1)，所以EM·EC＝·(1－x，1)＝(1－x)2＋.因为0≤x≤1.所以≤(1－x)2＋≤，即EM·EC的取值范围是.[答案]C5．(2015·临沂调研)△ABC外接圆的半径等于1，其圆心O满足AO＝(AB＋AC)，|AO|＝|AC|，则向量BA在BC方向上的投影等于()A．－B.C.D．3[解析]由AO＝(AB＋AC)知O是BC的中点，则BC为外接圆的直径，所以|OA|＝|OB|＝|OC|，又因为|AO|＝|AC|＝1，故△OAC为等边三角形，即∠AOC＝60°，由圆周角定理可知∠ABC＝30°，且|AB|＝，所以BA在BC方向上的投影为|BA|·cos∠ABC＝×cos30°＝.[答案]C二、填空题6．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE·BD＝________．[解析]因为AE＝AD＋AB，BD＝AD－AB，所以AE·BD＝·(AD－AB)＝AD2－AD·AB－AB2＝2.[答案]27．(2013·安徽高考)若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________．[解析]由|a|＝|a＋2b|，两边平方，得|a|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b，所以a·b＝－|b|2.又|a|＝3|b|，所以cos〈a，b〉＝＝＝－.[答案]－8．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b⊥c，则t＝________．[解析]|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°.∵c＝ta＋(1－t)b，∴b·c＝ta·b＋(1－t)b2＝t×1×1×＋(1－t)×1＝＋1－t＝1－.又∵b·c＝0，∴1－＝0，∴t＝2.[答案]2三、解答题9．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)．(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(AB－tOC)·OC＝0，求t的值．[解](1)由题设知AB＝(3，5)，AC＝(－1，1)，则AB＋AC＝(2，6)，AB－AC＝(4，4)．所以|AB＋AC|＝2，|AB－AC|＝4.故所求的两条对角线长分别为4，2.(2)由题设知OC＝(－2，－1)，AB－tOC＝(3＋2t，5＋t)．由(AB－tOC)·OC＝0，得(3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝0，从而5t＝－11，所以t＝－.10．(2013·辽宁高考)设向量a＝(sinx，sinx)，b＝(cosx，sinx)，x∈.(1)若|a|＝|b|，求x的值；(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．[解](1)由|a|2＝(sinx)2＋(sinx)2＝4sin2x，|b|2＝(cosx)2＋(sinx)2＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.又x∈，从而sinx＝，所以x＝.(2)f(x)＝a·b＝sinx·cosx＋sin2x＝sin2x－cos2x＋＝sin＋，当x＝∈时，sin取最大值1.所以f(x)的最大值为.[B级能力提升练]1．(2015·日照联考)在四边形ABCD中，AB＝DC＝(1，1)，＝＝，则四边形ABCD的面积为()A.B.C．2D．2[解析]由AB＝DC＝(1，1)，知四边形ABCD为平行四边形，且|AB|＝|CD|＝，再由＋＝，可知平行四边形ABCD为菱形，且∠C＝120°，∴S四边形ABCD＝××＝.[答案]A2．已知a，b为非零向量，m＝a＋tb(t∈R)，若|a|＝1，|b|＝2，当且仅当t＝时，|m|取得最小值，则向量a，b的夹角为________．[解析]设向量a，b的夹角为θ，则|m|2＝(a＋tb)2＝a2＋t2b2＋2ta·b＝1＋4t2＋2t|a||b|·cosθ＝4t2＋4tcosθ＋1＝4＋1－cos2θ，又当t＝时，|m|2有最小值．∴－＝，即cosθ＝－，故〈a，b〉＝.[答案]3．已知点A(1，0)，B(0，1)，C(2sinθ，cosθ)．(1)若|AC|＝|BC|，求的值；(2)若(OA＋2OB)·OC＝1，其中O为坐标原点，求sinθ·cosθ的值．[解]∵A(1，0)，B(0，1)，C(2sinθ，cosθ)，∴AC＝(2sinθ－1，cosθ)，BC＝(2sinθ，cosθ－1)．(1)|AC|＝|BC|，∴＝，化简得2sinθ＝cosθ，所以tanθ＝，∴＝＝＝－5.(2)OA＝(1，0)，OB＝(0，1)，OC＝(2sinθ，cosθ)，∴OA＋2OB＝(1，2)，∵(OA＋2OB)·OC＝1，∴2sinθ＋2cosθ＝1.∴(sinθ＋cosθ)2＝，∴sinθ·cosθ＝－.
