【高考新坐标】2016届高考数学总复习第四章第3节平面向量的数量积课后作业[A级基础达标练]一、选择题1.(2014·课标全国卷Ⅱ)设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则a·b=()A.1B.2C.3D.5[解析]|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=10,|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=6,将上面两式左右两边分别相减,得4a·b=4,∴a·b=1.[答案]A2.已知向量a,b满足|a|=3,|b|=2,且a⊥(a+b),则a与b的夹角为()A.B.C.D.[解析]a⊥(a+b)⇒a·(a+b)=a2+a·b=|a|2+|a||b|·cos〈a,b〉=0,故cos〈a,b〉=-=-,故所求夹角为.[答案]D3.(2014·山东高考)已知向量a=(1,),b=(3,m).若向量a,b的夹角为,则实数m=()A.2B.C.0D.-[解析]∵a·b=(1,)·(3,m)=3+m,又a·b=××cos,∴3+m=××cos,∴m=.[答案]B4.在边长为1的正方形ABCD中,M为BC的中点,点E在线段AB上运动,则EC·EM的取值范围是()A.B.C.D.[0,1][解析]将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中,设E(x,0),0≤x≤1.又M,C(1,1),所以EM=,EC=(1-x,1),所以EM·EC=·(1-x,1)=(1-x)2+.因为0≤x≤1.所以≤(1-x)2+≤,即EM·EC的取值范围是.[答案]C5.(2015·临沂调研)△ABC外接圆的半径等于1,其圆心O满足AO=(AB+AC),|AO|=|AC|,则向量BA在BC方向上的投影等于()A.-B.C.D.3[解析]由AO=(AB+AC)知O是BC的中点,则BC为外接圆的直径,所以|OA|=|OB|=|OC|,又因为|AO|=|AC|=1,故△OAC为等边三角形,即∠AOC=60°,由圆周角定理可知∠ABC=30°,且|AB|=,所以BA在BC方向上的投影为|BA|·cos∠ABC=×cos30°=.[答案]C二、填空题6.已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则AE·BD=________.[解析]因为AE=AD+AB,BD=AD-AB,所以AE·BD=·(AD-AB)=AD2-AD·AB-AB2=2.[答案]27.(2013·安徽高考)若非零向量a,b满足|a|=3|b|=|a+2b|,则a与b夹角的余弦值为________.[解析]由|a|=|a+2b|,两边平方,得|a|2=(a+2b)2=|a|2+4|b|2+4a·b,所以a·b=-|b|2.又|a|=3|b|,所以cos〈a,b〉===-.[答案]-8.已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b,若b⊥c,则t=________.[解析]|a|=|b|=1,〈a,b〉=60°.∵c=ta+(1-t)b,∴b·c=ta·b+(1-t)b2=t×1×1×+(1-t)×1=+1-t=1-.又∵b·c=0,∴1-=0,∴t=2.[答案]2三、解答题9.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长;(2)设实数t满足(AB-tOC)·OC=0,求t的值.[解](1)由题设知AB=(3,5),AC=(-1,1),则AB+AC=(2,6),AB-AC=(4,4).所以|AB+AC|=2,|AB-AC|=4.故所求的两条对角线长分别为4,2.(2)由题设知OC=(-2,-1),AB-tOC=(3+2t,5+t).由(AB-tOC)·OC=0,得(3+2t,5+t)·(-2,-1)=0,从而5t=-11,所以t=-.10.(2013·辽宁高考)设向量a=(sinx,sinx),b=(cosx,sinx),x∈.(1)若|a|=|b|,求x的值;(2)设函数f(x)=a·b,求f(x)的最大值.[解](1)由|a|2=(sinx)2+(sinx)2=4sin2x,|b|2=(cosx)2+(sinx)2=1,及|a|=|b|,得4sin2x=1.又x∈,从而sinx=,所以x=.(2)f(x)=a·b=sinx·cosx+sin2x=sin2x-cos2x+=sin+,当x=∈时,sin取最大值1.所以f(x)的最大值为.[B级能力提升练]1.(2015·日照联考)在四边形ABCD中,AB=DC=(1,1),==,则四边形ABCD的面积为()A.B.C.2D.2[解析]由AB=DC=(1,1),知四边形ABCD为平行四边形,且|AB|=|CD|=,再由+=,可知平行四边形ABCD为菱形,且∠C=120°,∴S四边形ABCD=××=.[答案]A2.已知a,b为非零向量,m=a+tb(t∈R),若|a|=1,|b|=2,当且仅当t=时,|m|取得最小值,则向量a,b的夹角为________.[解析]设向量a,b的夹角为θ,则|m|2=(a+tb)2=a2+t2b2+2ta·b=1+4t2+2t|a||b|·cosθ=4t2+4tcosθ+1=4+1-cos2θ,又当t=时,|m|2有最小值.∴-=,即cosθ=-,故〈a,b〉=.[答案]3.已知点A(1,0),B(0,1),C(2sinθ,cosθ).(1)若|AC|=|BC|,求的值;(2)若(OA+2OB)·OC=1,其中O为坐标原点,求sinθ·cosθ的值.[解]∵A(1,0),B(0,1),C(2sinθ,cosθ),∴AC=(2sinθ-1,cosθ),BC=(2sinθ,cosθ-1).(1)|AC|=|BC|,∴=,化简得2sinθ=cosθ,所以tanθ=,∴===-5.(2)OA=(1,0),OB=(0,1),OC=(2sinθ,cosθ),∴OA+2OB=(1,2),∵(OA+2OB)·OC=1,∴2sinθ+2cosθ=1.∴(sinθ+cosθ)2=,∴sinθ·cosθ=-.