考点17推理与证明1.（2010·山东高考文科·Ｔ１０）观察，，，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足，记为的导函数，则=（）（A）(B)(C)(D)【命题立意】本题考查归纳推理的有关知识，考查了考生的观察问题，分析问题，解决问题的能力.【思路点拨】观察所给的结论，通过归纳类比联想，得出结论.【规范解答】选D．通过观察所给的结论可知，若是偶函数，则其导函数是奇函数，故选D．2.（2010·陕西高考理科·Ｔ１２）观察下列等式：,……根据上述规律，第五个等式为____________.【命题立意】本题考查归纳推理，属送分题．【思路点拨】找出等式两边底数的规律是解题的关键．【规范解答】由所给等式可得：等式两边的幂式指数规律明显，底数关系如下：即左边底数的和等于右边的底数，故第五个等式为：【答案】3.（2010·福建高考文科·Ｔ１６）观察下列等式：可以推测，m–n+p=.【命题立意】本题主要考查利用合情推理的方法对系数进行猜测求解．【思路点拨】根据归纳推理可得．【规范解答】观察得：式子中所有项的系数和为1，，，又，，．【答案】9624.（2010·浙江高考理科·Ｔ14）设，将的最小值记为，则其中=__________________.【命题立意】本题考查合情推理与演绎推理的相关知识，熟练掌握相关的推理规则是关键．【思路点拨】观察的奇数项与偶数项的特点．【规范解答】观察表达式的特点可以看出，……当为偶数时，；，，……当为奇数时，．【答案】5.（2010·北京高考文科·Ｔ20）已知集合，对于，定义A与B的差为，A与B之间的距离为.（1）当n=5时，设，求，.（2）证明：，且.（3）证明：三个数中至少有一个是偶数.【命题立意】本题属于创新题，考查了学生运用新知识的能力.本题情景是全新的，对学生的“学习能力”提出了较高要求.要求教师真正重视学生的探究性学习，更加注重学生“学习能力”“创新能力”的培养．【思路点拨】（1）（2）直接按定义求解证明即可.(3)“至少”问题可采用反证法证明．【规范解答】（1）＝（1,0,1,0,1），＝3.(2)设，所以中1的个数为k,中1的个数为，设是使成立的的个数，则，由此可知，三个数不可能都是奇数，即三个数中至少有一个是偶数．6.（2010·北京高考理科·Ｔ20）已知集合，对于，定义A与B的差为A与B之间的距离为.（1）证明：，且.（2）证明：三个数中至少有一个是偶数.(3)设P，P中有m(m≥2)个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为(P).证明：（P）≤.【命题立意】本题属于创新题，考查了学生运用新知识的能力，考查了反证法、不等式证明等知识．本题情景是全新的，对学生的“学习能力”提出了较高要求．要求教师真正重视学生的探究性学习，更加注重学生“学习能力”“创新能力”的培养．【思路点拨】（1）直接按定义证明即可．（2）“至少”问题可采用反证法证明．(3)把表示出来，再利用基本不等式证明．【规范解答】（1）设，，，因为，，所以，从而，又,由题意知，，.当时，;当时，,所以.(2)设，，,，，.记，由（1）可知,，,,所以中1的个数为，中1的个数为．设是使成立的的个数，则,由此可知，三个数不可能都是奇数，即,,三个数中至少有一个是偶数．（3）,其中表示中所有两个元素间距离的总和，设中所有元素的第个位置的数字中共有个1，个0,则＝,由于,所以,从而.【方法技巧】（1）证明“至少有一个……”时，一般采用反证法．（2）证明不等式时要多观察形式，适当变形转化为基本不等式．7.（2010·江苏高考·Ｔ23）已知△ABC的三边长都是有理数，求证：cosA是有理数.（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数.【命题立意】本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力.【思路点拨】（1）利用余弦定理表示cosA，由三边是有理数，求得结论.（2）可利用数学归纳法证明.【规范解答】方法一：（1）设三边长分别为，， 是有理数，是有理数，分母为有理数，又有理数集对于除法具有封闭性，∴必为有理数，∴cosA是有理数.（2）①当时，显然cosA是有理数；当时， ，因为cosA是有理数，∴也是有理数.②假设当时，结论成立，即coskA、均是有理数，当时，，，，解得：， cosA，，均是有理数，∴是有...
