2016-2017学年高中数学第3讲柯西不等式与排序不等式1二维形式的柯西不等式课后练习新人教A版选修4-5一、选择题1．已知3x＋y＝10，则x2＋y2的最小值为()A.B．1C．10D．100答案：C2．设实数x，y满足3x2＋2y2≤6，则2x＋y的最大值为()A.B．4C．2D.解析：由柯西不等式知(2x＋y)2≤(＋)(3x2＋2y2)≤×6＝11，∴2x＋y≤.答案：A3．已知p，q∈R＋，且p3＋q3＝2，则p＋q的最大值为()A．2B．8C.D．4解析：设m＝(p，q)，n＝(p，q)则p2＋q2＝pp＋qq＝|m·n|≤|m|·|n|＝·＝又(p＋q)2≤2(p2＋q2)∴≤p2＋q2≤∴≤则(p＋q)4≤8(p＋q)即(p＋q)3≤8.∴p＋q≤2.答案：A4．下面几个不等式正确的个数是()(1)a，b，c，d∈R，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2；(2)a2＋b2＋c2＋d2≥ab＋bc＋cd＋da(a，b，c，d∈R)；(3)若a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，则a2＋b2＋c2≥；(4)若a，b∈(0，＋∞)，则(a＋b)(＋)≥4.A．1个B．2个C．3个D．4个答案：D二、填空题5．求方程＋2＝的解为________．解析：将原方程变形为：15＝(·＋2·)2≤[()2＋22]1[()2＋()2]＝15，其中等号成立的充要条件是＝，解得x＝－.答案：x＝－6．已知2x2＋y2＝1，则2x＋y的最大值是________．解析：由柯西不等式得2x＋y≤＝.答案：三、解答题7．解方程＋3＝2.解析：原方程变形为(＋3)2＝20，由柯西不等式，得(＋3)2≤(12＋32)·(2x－1＋3－2x)＝20，其中等号成立的条件是＝，解得x＝.8．若2x＋3y＝1，求4x2＋9y2的最小值，并求最小值点．解析：由柯西不等式(4x2＋9y2)(22＋22)≥(4x＋6y)2＝4，∴4x2＋9y2≥.当且仅当＝，即2x＝3y时取等号．由得于是4x2＋9y2的最小值为，最小值点为(，)．9．已知：α，β，γ为空间向量．证明：|α－β|＋|β－γ|≥|γ－α|.证明：设α＝(a1，a2，a3)，β＝(b1，b2，b3)，γ＝(c1，c2，c3)，则α－β＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，β－γ＝(b1－c1，b2－c2，b3－c3)，γ－α＝(c1－a1，c2－a2，c3－a3)，则|α－β|＝，|β－γ|＝，|γ－α|＝.结合空间三角形三边关系可得|α－β|＋|β－γ|≥|γ－α|.2
