课时作业13微积分基本定理知识点一求简单定积分1.x2dx等于()A．0B.C.x2D．2x答案B解析x2dx＝x3＝×13－×03＝.2．(1＋cosx)dx等于()A．πB．2C．π－2D．π＋2答案D解析原式＝(x＋sinx)＝－＝π＋2.3．sin2dx等于()A.B.－1C．2D.答案D解析sin2dx＝dx＝(x－sinx)＝，故选D.4．求定积分(t＋2)dx.解令F(x)＝(t＋2)x，则F′(x)＝t＋2，∴(t＋2)dx＝(t＋2)x＝2(t＋2)－(t＋2)＝t＋2.知识点二分段函数的定积分5.定积分|x2－2x|dx＝()A．5B．6C．7D．8答案D解析∵|x2－2x|＝∴|x2－2x|dx＝(x2－2x)dx＋(－x2＋2x)dx＝＋＝8.6．若f(x)＝则－1f(x)dx＝________.答案－＋sin1解析f(x)dx＝x2dx＋(cosx－1)dx＝x3＋(sinx－x)＝－＋sin1.知识点三定积分的简单应用7.若dx＝3＋ln2，且a>1，则a的值为()A．6B．4C．3D．2答案D解析∵dx＝(x2＋lnx)＝a2＋lna－1，∴a2＋lna－1＝3＋ln2，∴∴a＝2.一、选择题1．下列定积分计算正确的是()A.sinxdx＝4B.2xdx＝1C.dx＝lnD.3x2dx＝3答案C解析sinxdx＝－cosx＝0；2xdx＝＝log2e；dx＝(x－lnx)＝1－ln2＝ln；3x2dx＝x3＝12.故选C.2．已知积分(kx＋1)dx＝k，则实数k＝()A．2B．－2C．1D．－1答案A解析因为(kx＋1)dx＝k，所以＝k.所以k＋1＝k，所以k＝2.3.|x2－4|dx＝()A.B.C.D.答案C解析∵|x2－4|＝∴|x2－4|dx＝(x2－4)dx＋(4－x2)dx＝＋＝＋＝－3－＋8＋8－＝.4．若a＝xdx，b＝dx，c＝dx，则a，b，c的大小关系为()A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．b＜c＜aD．c＜b＜a答案D解析∵a＝＝8－2＝6，b＝(4lnx)＝4(ln4－ln2)＝4ln2.又6＞4lne＞4ln2，∴a＞b.由定积分的几何意义，可知c＝dx＝.又4ln2＝ln16＞lne2＝2＞，∴b＞c，故c＜b＜a.5．若函数f(x)＝xm＋nx的导函数是f′(x)＝2x＋1，则f(－x)dx＝()A.B.C.D.答案A解析∵f(x)＝xm＋nx的导函数是f′(x)＝2x＋1，∴f(x)＝x2＋x，∴f(－x)dx＝(x2－x)dx＝＝.二、填空题6．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝(1＋2x)dx，则a5＋a6＝________.答案解析S10＝(1＋2x)dx＝(x＋x2)＝3＋9＝12.因为{an}是等差数列，所以S10＝＝5(a5＋a6)＝12，所以a5＋a6＝.7．已知f(x)是偶函数，且f(x)dx＝8，则f(x)dx＝________.答案16解析因为函数f(x)是偶函数，所以函数f(x)在y轴两侧的图象对称，所以f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx＝2f(x)dx＝16.8．函数y＝x2与y＝kx(k>0)的图象所围成的阴影部分的面积为，则k＝________.答案3解析由解得或由题意，得(kx－x2)dx＝＝k3－k3＝k3＝，∴k＝3.三、解答题9．计算下列定积分．(1)dx；(2)2dx；(3)(sinx－sin2x)dx.解(1)∵′＝2x2－，∴dx＝＝－＝－ln2.2(2)∵2＝x＋＋2，且′＝x＋＋2，∴2dx＝＝－＝＋ln.(3)∵′＝sinx－sin2x，∴(sinx－sin2x)dx＝＝－＝－－＋1－＝－.10．计算定积分(|2x＋3|＋|3－2x|)dx.解解法一：令2x＋3＝0，解得x＝－；令3－2x＝0，解得x＝.解法二：设f(x)＝|2x＋3|＋|3－2x|＝如图，所求积分等于阴影部分面积，3即(|2x＋3|＋|3－2x|)dx＝S＝2××(6＋12)×＋3×6＝45.4
