3.2.3导数的四则运算法则课时过关·能力提升1.函数y=(1-x2)2的导数为()A.2-2x2B.2(1-x2)2C.4x3-4xD.2(1-x2)·2x答案:C2.函数y=xcosx-sinx的导数为()A.xsinxB.-xsinxC.xcosxD.-xcosx解析:y'=(xcosx)'-(sinx)'=x'cosx+x(cosx)'-cosx=cosx-xsinx-cosx=-xsinx.答案:B3.曲线y=x3-2x+1在点(1,0)处的切线方程为()A.y=x-1B.y=-x+1C.y=2x-2D.y=-2x+2答案:A4.曲线y¿xx+2在点¿-1,-1)处的切线方程为()A.y=2x+1B.y=2x-1C.y=-2x-3D.y=-2x-2解析:因为y'¿2(x+2)2,所以k=y'|x=-1=2,故切线方程为y=2x+1.答案:A★5.曲线y=ex在x=0处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积为()A.14B.12C.1D.2解析:因为y'=ex,所以切线斜率k=y'|x=0=e0=1.又x=0时,y=e0=1,故切线方程为y=x+1.又此切线与x轴,y轴的交点分别为(-1,0),(0,1),所以所求三角形的面积为12.答案:B6.若函数f(x)=x3+x+b的图象在点P(0,f(0))处的切线方程为y=ax+2,则a=,b=.答案:127.已知点P在曲线y=ex上,在点P处的切线的倾斜角为π4,则点P的坐标为.答案:(0,1)★8.在平面直角坐标系xOy中,点P在曲线C:y=x3-10x+3上,且在第二象限内.已知曲线C在点P处的切线的斜率为2,则点P的坐标为.1解析:设P(x0,y0)(x0<0),由题意知y'|x=x0=3x02−10=2,∴x02=4.∴x0=-2,∴y0=15,∴点P的坐标为(-2,15).答案:(-2,15)9.已知曲线y¿x-12在点¿a,a-12¿处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为18,求a的值.分析:求出在切点处的斜率(用a表示),写出切线方程,求出在x轴、y轴上的截距,从而用a表示三角形面积,即可解得a.解:y'=−12x-32,点(a,a-12¿处切线的斜率k=−12a-32.切线的方程为y−a-12=−12a-32¿x-a).从而直线的横,纵截距分别为3a,32a-12.由12×3a×32a-12=18,得a=64.★10.已知曲线C1:y=x2与C2:y=-(x-2)2,若直线l与C1,C2都相切,求直线l的方程.分析:设出直线l与C1,C2的切点坐标,可以分别用一个参数来表示,利用导数的几何意义求出切线的斜率,利用斜率相等可求出两切点的坐标.解:方法一:设直线l与两曲线的切点分别为A(a,a2),B(b,-(b-2)2).因为两曲线对应函数的导函数分别为y1'=2x,y2'=-2(x-2),所以在A,B两点处两曲线的切线斜率分别为y1'|x=a=2a,y2'|x=b=-2(b-2).由题意可得a2+(b-2)2a-b=2a=-2b+4,即{a=2-b,a2-b2-2ab+4b=4.解之,得{a=2,b=0或{a=0,b=2.所以A(2,4)或(0,0),切线的斜率k=4或0,从而所求的切线方程为y=4x-4或y=0.方法二:设l与C1,C2的切点的横坐标分别为a,b,直线l的斜率为k,根据题意,得y1'=2x,y2'=-2(x-2).y1'|x=a=2a,y2'|x=b=-2(b-2).由k=2a=-2b+4,可得a¿k2,b¿4-k2,2设l与C1,C2的切点的坐标分别为(k2,k24),(4-k2,-k24),则k¿k24-(-k24)k2-4-k2=k22k-4,解得k=0或4.故所求的切线方程为y=4x-4或y=0.3
