课时跟踪检测（十一）复数的加减与乘法运算[课下梯度提能]一、基本能力达标1．若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是()A．－2B．4C．3D．－4解析：选B∵z＋(3－4i)＝1，∴z＝－2＋4i，故z的虚部是4.2．(2018·全国卷Ⅲ)(1＋i)(2－i)＝()A．－3－iB．－3＋iC．3－iD．3＋i解析：选D(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i.3．(2019·北京高考)已知复数z＝2＋i，则z·＝()A.B.C．3D．5解析：选D法一：∵z＝2＋i，∴＝2－i，∴z·＝(2＋i)(2－i)＝5.法二：∵z＝2＋i，∴z·＝|z|2＝5.4．已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A当“a＝b＝1”时，“(a＋bi)2＝(1＋i)2＝2i”成立，故“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的充分条件；当“(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝2i”时，“a＝b＝1”或“a＝b＝－1”，故“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的不必要条件；综上所述，“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的充分不必要条件．5．若实数x，y满足z1＝y＋xi，z2＝yi－x，且z1－z2＝2，则xy的值是()A．1B．2C．－2D．－1解析：选A∵z1－z2＝y＋xi－(yi－x)＝x＋y＋(x－y)i＝2，∴∴x＝y＝1.∴xy＝1.6．若复数z满足z＋2＝3＋2i，其中i为虚数单位，为复数z的共轭复数，则复数z的实部为_______．解析：设z＝x＋yi，x，y∈R，则＝x－yi，因为z＋2＝3＋2i，所以z＋2＝(x＋yi)＋2(x－yi)＝3x－yi＝3＋2i，所以x＝1，y＝－2，所以z＝1－2i，所以复数z的实部为1.答案：17．已知3＋i－(4＋3i)＝z－(6＋7i)，则z＝________.解析：∵3＋i－(4＋3i)＝z－(6＋7i)∴z＝3＋i－(4＋3i)＋(6＋7i)＝(3－4＋6)＋(1－3＋7)i＝5＋5i.答案：5＋5i18．若复数z1＝3＋4i，z2＝a＋i，且z1·2是实数(其中2为z2的共轭复数)，则实数a＝________.解析：由题可得2＝a－i，因为z1·2＝(3＋4i)(a－i)＝(3a＋4)＋(4a－3)i是实数，所以4a－3＝0，解得a＝.答案：9．计算：(1)＋；(2)(3＋2i)＋(－2)i；(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)．解：(1)原式＝－i＝－i.(2)(3＋2i)＋(－2)i＝3＋(2＋－2)i＝3＋i.(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)＝[6＋3－3－(－2)]＋[－3＋2－(－4)－1]i＝8＋2i.10．计算：(1)(4i－6)＋2＋i；(2)(1＋i)．解：(1)(4i－6)＋2＋i＝2i＋6i2－3－9i＋2＋i＝－7－6i.(2)(1＋i)＝(1＋i)＝(1＋i)＝＋i＝－＋i.二、综合能力提升1．已知复数z满足：z·＋2zi＝8＋6i，则复数z的实部与虚部的和为()A．4B．2C．－2D．－4解析：选A设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z·＝a2＋b2，∴a2＋b2＋2i(a＋bi)＝8＋6i，即a2＋b2－2b＋2ai＝8＋6i，∴解得∴a＋b＝4，∴复数z的实部与虚部的和是4.2．若1－i(i是虚数单位)是关于x的方程x2＋2px＋q＝0(p，q∈R)的一个解，则p＋q＝()A．－1B．1C．3D．－3解析：选B依题意得(1－i)2＋2p(1－i)＋q＝(2p＋q)－2(p＋1)i＝0，即解得p＝－1，q＝2，所以p＋q＝1.3.是z的共轭复数．若z＋＝2，(z－)i＝2(i为虚数单位)，求z.解：法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，2∵z＋＝2a＝2，∴a＝1.又(z－)i＝2bi2＝－2b＝2.∴b＝－1.故z＝1－i.法二：∵(z－)i＝2，∴z－＝＝－2i又z＋＝2，∴z－＋(z＋)＝－2i＋2，∴2z＝－2i＋2，∴z＝1－i.4．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)，设z＝z1－z2＝13－2i，求z1，z2.解：z＝z1－z2＝(3x＋y)＋(y－4x)i－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]＝[(3x＋y)－(4y－2x)]＋[(y－4x)＋(5x＋3y)]i＝(5x－3y)＋(x＋4y)i，因为z＝13－2i，且x，y∈R，所以解得所以z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i，z2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i＝－8－7i.3
