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(江苏专用)高考数学三轮复习 解答题专题练(四)解析几何 文 苏教版-苏教版高三全册数学试题VIP免费

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解答题专题练(四)解析几何(建议用时:40分钟)1.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M,N两点,且|MN|=8.(1)求抛物线C的方程;(2)设直线l为抛物线C的切线,且l∥MN,P为l上一点,求PM·PN的最小值.2.(2019·无锡模拟)已知椭圆C中心在坐标原点,对称轴为坐标轴,且过点M(4,2)、N(,3).(1)求椭圆C的方程;(2)设椭圆C上的任一点R(x0,y0),从原点O向圆R:(x-x0)2+(y-y0)2=8作两条切线,分别交椭圆于P,Q.试探究OP2+OQ2是否为定值,若是,求出其值;若不是,请说明理由.3.在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x2+y2=r2和直线l:x=a(其中r和a均为常数,且0<r<a),M为l上一动点,A1,A2为圆C与x轴的两个交点,直线MA1,MA2与圆C的另一个交1点分别为P,Q.(1)若r=2,点M的坐标为(4,2),求直线PQ的方程;(2)求证:直线PQ过定点,并求定点的坐标.4.如图,设斜率为k(k>0)的直线l与椭圆C:+=1交于A,B两点,且OA⊥OB.(1)求直线l在y轴上的截距(用k表示);(2)求△AOB面积取最大值时直线l的方程.解答题专题练(四)1.解:(1)由题可知F,则过点F且斜率为1的直线方程为y=x-,代入y2=2px(p>0),得x2-3px+=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则有x1+x2=3p.因为|MN|=8,所以x1+x2+p=8,即3p+p=8,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.2(2)设直线l的方程为y=x+b,代入y2=4x,得x2+(2b-4)x+b2=0.因为l为抛物线C的切线,所以Δ=0,解得b=1.所以l的方程为y=x+1.设P(m,m+1),则PM=(x1-m,y1-(m+1)),PN=(x2-m,y2-(m+1)),所以PM·PN=(x1-m)(x2-m)+[y1-(m+1)][y2-(m+1)]=x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2-(m+1)(y1+y2)+(m+1)2.由(1)可知,x1+x2=6,x1x2=1,所以(y1y2)2=16x1x2=16,y1y2=-4.因为y-y=4(x1-x2),所以y1+y2=4=4,所以PM·PN=1-6m+m2-4-4(m+1)+(m+1)2=2(m2-4m-3)=2[(m-2)2-7]≥-14,当且仅当m=2,即点P的坐标为(2,3)时等号成立,则PM·PN的最小值为-14.2.解:(1)依题意,设此椭圆方程为mx2+ny2=1,过点M(4,2)、N(,3),可得,解得m=,n=,所以椭圆C的方程为+=1.(2)(i)当直线OP,OQ的斜率均存在时,不妨设直线OP:y=k1x,OQ:y=k2x,依题意=2,化简得(x-8)k-2x0y0k1+y-8=0,同理(x-8)k-2x0y0k2+y-8=0.所以k1,k2是方程(x-8)k2-2x0y0k+y-8=0的两个不相等的实数根,k1k2=.因为+=1,所以y=12-x.所以k1k2==-,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则·=-,所以yy=xx,因为,所以,所以=xx,所以x+x=24,y+y=12,所以OP2+OQ2=36.(ii)当直线OP,OQ落在坐标轴上时,显然有OP2+OQ2=36,综上,OP2+OQ2=36.3.解:(1)若r=2,M(4,2),则A1(-2,0),A2(2,0).直线MA1的方程为x-3y+2=0,联立解得P.直线MA2的方程为x-y-2=0,联立解得Q(0,-2).由两点式得直线PQ的方程为2x-y-2=0.(2)法一:由题设得A1(-r,0),A2(r,0).设M(a,t),则直线MA1的方程为y=(x+r),直线MA2的方程为y=(x-r),联立3解得P.联立解得Q.于是直线PQ的斜率kPQ=,直线PQ的方程为y-=·.令y=0得x=,是一个与t无关的常数,故直线PQ过定点.法二:由题设得A1(-r,0),A2(r,0).设M(a,t),则直线MA1的方程为y=(x+r),直线MA2的方程为y=(x-r),则直线MA1与圆C的交点为P(x1,y1),直线MA2与圆C的交点为Q(x2,y2).则点P(x1,y1),Q(x2,y2)在曲线[(a+r)y-t(x+r)][(a-r)y-t(x-r)]=0上,化简得(a2-r2)y2-2ty(ax-r2)-t2(x2-r2)=0.①又因为点P(x1,y1),Q(x2,y2)在圆C上,圆C:x2+y2-r2=0.②由①+t2×②=0得(a2-r2)y2-2ty(ax-r2)-t2(x2-r2)+t2(x2+y2-r2)=0,化简得(a2-r2)y-2t(ax-r2)+t2y=0.所以直线PQ的方程为(a2-r2)y-2t(ax-r2)+t2y=0.令y=0得x=,故直线PQ过定点.4.解:(1)设l:y=kx+t,A(x1,y1),B(x2,y2),因为斜率为k(k>0)的直线l与椭圆C:+=1交于A,B两点,且OA⊥OB,所以∠AOB=90°,所以OA·OB=0,所以x1x2+(kx1+t)(kx2+t)=0,所以(1+k2)x1x2+kt(x1+x2)+t2=0,(*)联立,消去y得x2+3(kx+t)2=9,即(1+3k2)x2+6ktx+3t2-9=0,则x1+x2=-,x1x2=,且Δ>0,代入(*),得(1+k2)(3t2-9)-6k2t2+t2(1+3k2)=0,所以3t2-9-9k2+t2=0,所以t2=(1+k2),所以t=±,所以直线l在y轴上的截距为或-.(2)设△AOB的面积为S,O到直线l的距离为d,则S=·|AB|·d,而由(1)知d==,且|AB|=·=×=×3=,所以S=×≤×=,当Smax=时,9k2=,解得k=,所以t=±,所以所求直线方程为y=x+或y=x-.45

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