（江苏专用）高考数学三轮复习 解答题专题练（四）解析几何 文 苏教版-苏教版高三全册数学试题VIP免费

解答题专题练(四)解析几何(建议用时：40分钟)1．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|＝8.(1)求抛物线C的方程；(2)设直线l为抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，求PM·PN的最小值．2．(2019·无锡模拟)已知椭圆C中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点M(4，2)、N(，3)．(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C上的任一点R(x0，y0)，从原点O向圆R：(x－x0)2＋(y－y0)2＝8作两条切线，分别交椭圆于P，Q.试探究OP2＋OQ2是否为定值，若是，求出其值；若不是，请说明理由．3．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2＝r2和直线l：x＝a(其中r和a均为常数，且0＜r＜a)，M为l上一动点，A1，A2为圆C与x轴的两个交点，直线MA1，MA2与圆C的另一个交1点分别为P，Q.(1)若r＝2，点M的坐标为(4，2)，求直线PQ的方程；(2)求证：直线PQ过定点，并求定点的坐标．4.如图，设斜率为k(k＞0)的直线l与椭圆C：＋＝1交于A，B两点，且OA⊥OB.(1)求直线l在y轴上的截距(用k表示)；(2)求△AOB面积取最大值时直线l的方程．解答题专题练(四)1．解：(1)由题可知F，则过点F且斜率为1的直线方程为y＝x－，代入y2＝2px(p＞0)，得x2－3px＋＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有x1＋x2＝3p.因为|MN|＝8，所以x1＋x2＋p＝8，即3p＋p＝8，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.2(2)设直线l的方程为y＝x＋b，代入y2＝4x，得x2＋(2b－4)x＋b2＝0.因为l为抛物线C的切线，所以Δ＝0，解得b＝1.所以l的方程为y＝x＋1.设P(m，m＋1)，则PM＝(x1－m，y1－(m＋1))，PN＝(x2－m，y2－(m＋1))，所以PM·PN＝(x1－m)(x2－m)＋[y1－(m＋1)][y2－(m＋1)]＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋y1y2－(m＋1)(y1＋y2)＋(m＋1)2.由(1)可知，x1＋x2＝6，x1x2＝1，所以(y1y2)2＝16x1x2＝16，y1y2＝－4.因为y－y＝4(x1－x2)，所以y1＋y2＝4＝4，所以PM·PN＝1－6m＋m2－4－4(m＋1)＋(m＋1)2＝2(m2－4m－3)＝2[(m－2)2－7]≥－14，当且仅当m＝2，即点P的坐标为(2，3)时等号成立，则PM·PN的最小值为－14.2．解：(1)依题意，设此椭圆方程为mx2＋ny2＝1，过点M(4，2)、N(，3)，可得，解得m＝，n＝，所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)(i)当直线OP，OQ的斜率均存在时，不妨设直线OP：y＝k1x，OQ：y＝k2x，依题意＝2，化简得(x－8)k－2x0y0k1＋y－8＝0，同理(x－8)k－2x0y0k2＋y－8＝0.所以k1，k2是方程(x－8)k2－2x0y0k＋y－8＝0的两个不相等的实数根，k1k2＝.因为＋＝1，所以y＝12－x.所以k1k2＝＝－，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则·＝－，所以yy＝xx，因为，所以，所以＝xx，所以x＋x＝24，y＋y＝12，所以OP2＋OQ2＝36.(ii)当直线OP，OQ落在坐标轴上时，显然有OP2＋OQ2＝36，综上，OP2＋OQ2＝36.3．解：(1)若r＝2，M(4，2)，则A1(－2，0)，A2(2，0)．直线MA1的方程为x－3y＋2＝0，联立解得P.直线MA2的方程为x－y－2＝0，联立解得Q(0，－2)．由两点式得直线PQ的方程为2x－y－2＝0.(2)法一：由题设得A1(－r，0)，A2(r，0)．设M(a，t)，则直线MA1的方程为y＝(x＋r)，直线MA2的方程为y＝(x－r)，联立3解得P.联立解得Q.于是直线PQ的斜率kPQ＝，直线PQ的方程为y－＝·.令y＝0得x＝，是一个与t无关的常数，故直线PQ过定点.法二：由题设得A1(－r，0)，A2(r，0)．设M(a，t)，则直线MA1的方程为y＝(x＋r)，直线MA2的方程为y＝(x－r)，则直线MA1与圆C的交点为P(x1，y1)，直线MA2与圆C的交点为Q(x2，y2)．则点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在曲线[(a＋r)y－t(x＋r)][(a－r)y－t(x－r)]＝0上，化简得(a2－r2)y2－2ty(ax－r2)－t2(x2－r2)＝0.①又因为点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在圆C上，圆C：x2＋y2－r2＝0.②由①＋t2×②＝0得(a2－r2)y2－2ty(ax－r2)－t2(x2－r2)＋t2(x2＋y2－r2)＝0，化简得(a2－r2)y－2t(ax－r2)＋t2y＝0.所以直线PQ的方程为(a2－r2)y－2t(ax－r2)＋t2y＝0.令y＝0得x＝，故直线PQ过定点.4．解：(1)设l：y＝kx＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为斜率为k(k＞0)的直线l与椭圆C：＋＝1交于A，B两点，且OA⊥OB，所以∠AOB＝90°，所以OA·OB＝0，所以x1x2＋(kx1＋t)(kx2＋t)＝0，所以(1＋k2)x1x2＋kt(x1＋x2)＋t2＝0，(*)联立，消去y得x2＋3(kx＋t)2＝9，即(1＋3k2)x2＋6ktx＋3t2－9＝0，则x1＋x2＝－，x1x2＝，且Δ＞0，代入(*)，得(1＋k2)(3t2－9)－6k2t2＋t2(1＋3k2)＝0，所以3t2－9－9k2＋t2＝0，所以t2＝(1＋k2)，所以t＝±，所以直线l在y轴上的截距为或－.(2)设△AOB的面积为S，O到直线l的距离为d，则S＝·|AB|·d，而由(1)知d＝＝，且|AB|＝·＝×＝×3＝，所以S＝×≤×＝，当Smax＝时，9k2＝，解得k＝，所以t＝±，所以所求直线方程为y＝x＋或y＝x－.45