第三章3.13.1.33.1.4请同学们认真完成练案[21]A级基础巩固一、选择题1．长方体ABCD－A1B1C1D1中，若AB＝3i，AD＝2j，AA1＝5k，则AC1＝(C)A．i＋j＋kB．i＋j＋kC．3i＋2j＋5kD．3i＋2j－5k[解析]AC1＝AB＋BC＋CC1＝AB＋AD＋AA1＝3i＋2j＋5k.2．设a、b、c是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，则①(a·b)c－(c·a)b＝0；②|a|－|b|<|a－b|；③(b·a)c－(c·a)b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中正确的是(D)A．①②B．②③C．③④D．②④[解析]根据数量积的定义及性质可知：①③错误，②④正确．故选D．3．若a、b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件[解析]a·b＝|a||b|⇒cos〈a，b〉＝1⇒〈a，b〉＝0°，即a与b共线，反之不成立，因为当a与b共线反向时，a·b＝－|a||b|.4．(2019－2020学年北京市房山区期末检测)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量AB与向量C1A1的夹角是(B)A．150°B．135°C．45°D．30°[解析]如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中， AB∥A1B1，AC∥A1C1，∴∠C1A1B1的补角即为向量AB与向量C1A1的夹角． △C1A1B1为等腰直角三角形，∴∠C1A1B1＝45°，∴向量AB与向量C1A1的夹角为180°－45°＝135°，故选B．5．已知|a|＝1，|b|＝，且a－b与a垂直，则a与b的夹角为(B)1A．30°B．45°C．60°D．135°[解析] a－b与a垂直，∴(a－b)·a＝0，∴a·a－a·b＝|a|2－|a|·|b|·cos〈a，b〉＝1－1··cos〈a，b〉＝0，∴cos〈a，b〉＝. 0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝45°.6．已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|(C)A．B．C．D．4[解析]|a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2＝|a|2＋6|a||b|cos〈a，b〉＋9|b|2， |a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，∴|a＋3b|2＝13，∴|a＋3b|＝.二、填空题7．若{a，b，c}是空间的一个基底，且存在实数x、y、z使得xa＋yb＋zc＝0，则x、y、z满足的条件是__x＝y＝z＝0__.[解析]若x≠0，则a＝－b－c，即a与b，c共面．由{a，b，c}是空间向量的一个基底知a、b、c不共面，故x＝0，同理y＝z＝0.8．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则A1B·B1C＝__a2__.[解析]A1B·B1C＝A1B·A1D＝|A1B|·|A1D|·cos〈A1B，A1D〉＝a×a×cos60°＝a2.三、解答题9．如图，设四面体OABC的三条棱OA＝a，OB＝b，OC＝c，G为△ACB的重心，以{a，b，c}为空间基底表示向量BE，OG.[解析]由G为△ACB的重心易知E为AC的中点，∴BE＝(BA＋BC)＝[(OA－OB)＋(OC－OB)]＝[(a－b)＋(c－b)]＝(a＋c－2b)，2OG＝OB＋BG＝b＋BE＝b＋(a＋c－2b)＝(a＋b＋c)．10．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为D1C1的中点，试求A1C1与DE所成角的余弦值．[解析]设正方体的棱长为1，AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝b·c＝c·a＝0. A1C1＝AC＝AB＋AD＝a＋b，DE＝DD1＋D1E＝DD1＋D1C1＝c＋a，∴A1C1·DE＝(a＋b)·(c＋a)＝a·c＋b·c＋a2＋a·b＝a2＝.又 |A1C1|＝，|DE|＝＝，∴cos〈A1C1，DE〉＝＝＝，∴A1C1与DE所成角的余弦值为.B级素养提升一、选择题1．正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为2，E、F分别是AB、A1C1的中点，则EF的长是(C)A．2B．C．D．[解析]如图所示，设AB＝a，AC＝b，AA1＝c.由题意知|a|＝|b|＝|c|＝2，且〈a，b〉＝60°，〈a，c〉＝〈b，c〉＝90°.因为EF＝EA＋AA1＋A1F＝－AB＋AA1＋AC＝－a＋b＋c，所以|EF|2＝a2＋b2＋c2＋2(－a·b＋b·c－a·c)＝×22＋×22＋22＋2×(－)×2×2cos60°＝1＋1＋4－1＝5，所以|EF|＝.2．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是(A)A．(12,14,10)B．(10,12,14)C．(14,12,10)D．(4,3,2)[解析]OA＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k.3．(多选题)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列说法正确的是(AB)3A．(AA1＋AD＋AB)2＝3AB2B．A1C·(A1B1－A1A)＝0C．AD1与A1B的夹角为60°D．AD1·A1C1＝0[解析]根据数量积的定义知：A、B正确，AD1与A1B的夹角为120°，AD1与A1C1的夹角为60°，∴C、D不正确，故选AB．4．(多选题)在四...
