初三数学用推理方法研究四边形华东师大版【同步教育信息】一.本周教学内容：用推理方法研究四边形［重要知识归纳］一.平行四边形1.平行四边形的判定定理：（1）从边的关系去判定①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。②两组对边分别平行的四边形是平行四边形。③两组对边分别相等的四边形是平行四边形。（2）从角的关系去判定④两组对角分别相等的四边形是平行四边形。（注：邻角都互补的四边形也可证其是平行四边形。）（3）从对角线的关系去判定：⑤对角线相互平分的四边形是平行四边形。2.平行四边形的性质定理：（1）从边的关系分析①平行四边形对边平行且相等。（2）从角的关系分析②平行四边形对角相等、邻角互补。（3）从对角线分析③平行四边形对角线互相平分。（4）从对称性分析④平行四边形是中心对称图形，对角线交点是对称中心。（注：由中心对称性，可通过绕三角形一边中点旋转180°来构造平行四边形。）二.矩形1.矩形的判定定理：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形。（2）有三个角是直角的四边形是矩形。（3）对角线相等的平行四边形是矩形。（4）对角线相等且相互平分的四边形是矩形。2.矩形的性质定理：（1）矩形的四个角都是直角。（2）矩形的对角线相等且相互平分。3.矩形的对称性：矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形。三.菱形1.菱形的判定定理：①四条边都相等的四边形是菱形。②有一组邻边相等的平行四边形是菱形。③对角线互相垂直的平行四边形是菱形。④对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。2.菱形的性质定理：①菱形四条边都相等。②菱形对角线互相垂直且平分，并且每条对角线平分一组对角。3.菱形的对称性：菱形既是轴对称图形又是中心对称图形。4.菱形的面积等于它的两条对角线的乘积的一半。四.正方形1.正方形的性质：（1）正方形四个角都是直角，四条边都相等。（2）正方形两对角线互相垂直平分且相等，并且每条对角线平分一组对角。2.正方形的对称性：正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形。3.正方形的边长与对角线长的比为。4.正方形的判定定理：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形。（2）对角线相互垂直的矩形是正方形。（3）有一个角是直角的菱形是正方形。（4）对角线相等的菱形是正方形。（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。注：证明四边形是正方形往往先证明它是矩形或菱形，然后再证明其是正方形，有时也从对角线关系出发直接证其是正方形。图形解读四边形内在联系：【典型例题】例1.如图所示，平行四边形ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE=CF。求证：四边形BEDF是平行四边形。证明一：在平行四边形ABCD中，∴四边形BFDE为平行四边形。证明二：由证明一同理可证：∴四边形BFDE为平行四边形。证明三：连结BD，在平行四边形ABCD中则∴四边形BFDE为平行四边形。例2.分别以平行四边形ABCD的邻边AB和AD为一边，在平行四边形ABCD外作正三角形ABF和正三角形ADE，连结CE、EF、CF得△CEF，试判断△CEF的形状，并证明你的结论。证明： 四边形ABCD是平行四边形 △ADE、△ABF为正三角形例3.已知：如图所示，延长平行四边形ABCE的边BC至E，DA至F，使CE=AF，EF与BD交于点O，求证：EF与BD互相平分。证明：连结FB，DE 四边形ABCD是平行四边形∴四边形FBED是平行四边形∴EF与BD互相平分。例4.已知：如图所示，在矩形ABCD中，AC、BD是对角线，过顶点C作BD的平行线与AB的延长线相交于点E。求证：△ACE是等腰三角形。证法一：∴四边形BDCE是_____________四边形。∴BD=EC 四边形ABCD是矩形∴AC=_____________。∴AC=EC，∴△ACE是等腰三角形证法二： 四边形ABCD是矩形∴四边形BDCE是平行四边形∴EB=CD∴AB=EB在△ABC和△EBC中即△ACE是等腰三角形。证法三： 四边形ABCD是矩形∴△ACE为等腰三角形。例5.如图所示，延长矩形的边CB至E，使CE=CA，F是AE的中点，求证：。证明： 四边形ABCD是矩形 F是AE的中点（直角三角形斜边中线等于___________）。_________。即在△ADF和△BCF中例6.已知：如图所示，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C’处，BC’交AD于E，AD=8，AB=4，求△BED的面积。解：在矩形ABCD中，AD//BC，当矩形AB...
