２６．３实际问题与二次函数学习目标导航１．能够分析和表示实际问题中的二次函数关系,运用二次函数知识解决材料最省、利润最大、时间最少等问题．２．能根据实际问题中的二次函数模型,利用二次函数的图象和性质解答实际问题．教材知识详析要点１利用二次函数求图形面积的最值问题生活中,经常会遇到求某种图形的面积最大等问题．这类问题可以利用二次函数的图象和性质进行解决,也就是把面积最大的问题转化成二次函数的最大值的问题．求几何面积的常用的方法是:(１)利用几何图形的面积公式求几何图形的面积;(２)利用几何图形的面积和或面积差求几何图形的面积;(３)利用三角形相似求几何图形的面积等．关键提醒:利用二次函数解决与图形有关的问题时应注意:一是自变量的取值范围;二是根据公式列出函数关系式解题．例１用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架(如图２６．３Ｇ１(１)(２)(３)中的一种)．设竖档AB＝x米,请根据图案回答下列问题:(题中的不锈钢材料总长度均指各图中所有黑线的长度和,所有横档和竖档分别与AD、AB平行)(１)在图(１)中,如果不锈钢材料总长度为１２米,当x为多少时,矩形框架ABCD的面积为３平方米?(２)在图(２)中,如果不锈钢材料总长度为１２米,当x为多少时,矩形框架ABCD的面积S最大?最大面积是多少?(３)在图(３)中,如果不锈钢材料总长度为a米,共有n条竖档,那么当x为多少时,矩形框架ABCD的面积S最大?最大面积是多少?(１)(２)(３)图２６．３Ｇ１精析:(１)从矩形框架ABCD的面积为３平方米入手,列出方程求出竖档x的长．(２)图(２)比图(１)多了一个竖档,宽发生了变化,依据矩形面积公式可列出关系式,可求最大面积;(３)矩形框架竖档为n条竖档时,BC＝a－nx３,依据矩形面积公式可列出关系式S＝xa－nx３,把a,n当成是字母系数,由二次函数可求矩形框架ABCD的最大面积．解答:(１)当不锈钢材料总长度为１２米,共有３条竖档时,BC＝１２－３x３＝４－x,则x(４－x)＝３．解得x＝１或３．(２)当不锈钢材料总长度为１２米,共有４条竖档时,BC＝１２－４x３,矩形框架ABCD的面积S＝x１２－４x３＝－４３x２＋４x．当x＝－４２×－４３()＝３２时,S＝３．故当x＝３２时,矩形框架ABCD的面积S最大,最大面积为３平方米．(３)当不锈钢材料总长度为a米,共有n条竖档时,BC＝a－nx３,矩形框架ABCD的面积为S＝xa－nx３＝－n３x２＋a３x．当x＝－a３２×－n３()＝a２n时,S＝a２１２n．故当x＝a２n时,矩形框架ABCD的面积S最大,最大面积为a２１２n平方米．在求图形的面积时常会涉及到线段及线段之间的关系,通常是根据图形中线段的关系,找到相应线段与面积之间的函数关系式,转化为代数问题,就可以用函数的图象和性质来解决．解决有关面积的最值问题时,通常要联系二次函数的顶点坐标来解决．要点２利用二次函数求最大利润问题生活中的利润问题的最值也是常见的二次函数的问题．此类问题一般是先得到“销量”与“售价”的一次函数关系,再通过“销售额＝销量×售价”或“销售利润＝销量×(售价－进价)”得到“总金额”与“单价”之间的关系,然后再对二次函数配方或应用顶点坐标求出最值．关键提醒:常用的公式有利润＝售价－进价,总利润＝单个商品的利润×销售量,利润率＝利润进价×１００％．例２某市种植某种绿色蔬菜,全部用来出口．为了扩大出口规模,该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴,规定每种植一亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元．经调查,种植亩数y(亩)与补贴数额x(元)之间大致满足如图２６．３Ｇ２(１)所示的一次函数关系．随着补贴数额x的不断增大,出口量也不断增加,但每亩蔬菜的收益z(元)会相应降低,且z与x之间也大致满足如图２６．３Ｇ２(２)所示的一次函数关系．(１)在政府未出台补贴措施前,该市种植这种蔬菜的总收益额为多少?(２)分别求出政府补贴政策实施后,种植亩数y和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x之间的函数关系式;(３)要使全市这种蔬菜的总收益w(元)最大,政府应将每亩补贴数额x定为多少?并求出总收益w的最大值．图２６．３Ｇ２精析:本题题型新颖,要根据图象求一次函数的表达式,还要根据题意中的数量关系求总收益w的最大值．解答:(１)政府没出台补贴政策前,这种蔬菜的...
