向量在代数中的应用郭梅竹向量作为工具性知识已列入中学教材之中，其应用价值已被广大师生认可。用向量知识解题，方法新颖、运算简捷，是启迪学生思维的有效途径之一。但向量是以几何的形式出现的，给人的感觉是在几何中应用广泛，其实用向量来解决代数中的一些问题也很方便。下面就介绍这方面的应用。1.等式证明证明等式一般说来都要进行繁杂的运算，如果等式具有向量代数某些特征时，应用向量知识较为简单。例1.已知，且x，y，z，a，b，c为非零实数，求证。分析：由实数x，y，z与实数a，b，c对应成比例，联想到向量平行，进而联想到向量坐标。解：构造向量m与n的夹角为θ，，则由此得θ＝0或θ＝π所以m//n因此例2.已知，求证。分析：题设与结论都与1有关，由题设联想到向量。解：设n与m的夹角为θ，则又所以cosθ＝1，θ＝0所以m//n因此移项两边平方，经整理可得2.不等式证明证明不等式主要依据有关向量的不等式例3.已知a，b，c，且，求证。解：构造向量所以由向量不等式得即3.解有关三角问题例4.求函数的最值。解：原式可化为令构造向量则所以例5.已知，且，求α，β的值。解：原条件可化为构造向量则由α，β的地位相同知4.求解无理函数的最值求无理函数最值问题，按常规方法求解具有一定的难度，若能用向量知识解答将会使求解变得容易。首先我们来看几个向量的性质：性质1若，则当且仅当时等式成立性质2，当且仅当a，同向平行时右边等式成立，a，反向平行时左边等式成立。性质3，当且仅当方向相同且两两平行时等式成立。（1）型（同号）例6.求函数的最大值。解：构造向量由性质1，得当且仅当，即时，（2）型例7.求函数的最大值。解：原函数可变为取且构造向量由性质1，得从而当且仅当，即时，（3）型（）例8.求函数的最小值。解：构造向量由性质2，得当且仅当a与b同向平行时等式成立所以（此时）（4）其它类型例9.设（i＝1，2，……，2003）为正实数，且，试求的最小值。解：构造向量由性质3，得即例10.已知，求的最小值。解：构造向量从而由性质3，得所以
