初三数学二次函数的应用知识精讲一.本周教学内容：二次函数的应用教学目的：会构建二次函数模型解决一类与函数有关的应用性问题，应用数形结合思想来解决有关的综合性问题。例1.用长8m的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是（）A.B.C.D.命题目的：培养学生运用二次函数的最值问题解决生活中的实际问题。解：设窗户的横条长为xm，则纵条长为所以因为，所以S有最大值当时故选C例2.用长为18m的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃。（1）设矩形的一边为x(m)，面积为，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，所围苗圃的面积最大，最大面积是多少？解：（1）由已知，矩形的另一边长为则自变量x的取值范围是（2）∴当时（），苗圃的面积最大最大的面积是又解：有最大值∴当时（）例3.如图，已知点A（，0）和点B（6，0），第三象限内有一点P，它的横坐标为，并且满足条件（1）求证：ΔPAB是直角三角形；（2）求过P、A、B三点的抛物线的解析式，并求出顶点坐标。分析：（1）中须证，由已知条件，应过P作PC⊥x轴；（2）中已知P、A、B三点的坐标，且根据点的位置可用三种不同的方法求出抛物线的解析式。解：（1）过P作PC⊥x轴于点C，由已知易知AC＝2，BC＝8从而，解得即P点的坐标为（，）由勾股定理可求得故ΔAPB是直角三角形（2）解法1：可设过P、A、B三点的抛物线解析式为，则有∴顶点坐标为（1，）解法2：由抛物线与x轴交于A（，0），B（6，0），可设，又抛物线过点P（，）∴顶点坐标为（1，）解法3：由A（，0），B（6，0）可知抛物线的对称轴为，可设，有解得即∴顶点坐标为（1，）例4.抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（如图），若∠ACB＝90°，求a的值。命题目的：培养利用几何性质解决代数问题的数、形结合能力。解：因为抛物线所以A（，0），B（9，0）因为∠ACB＝90°，所以则OC＝3因为所以，所以例5.如图，已知梯形ABCD中，AB//CD，∠ABC＝90°，AB＝8，CD＝6，，在AB边上取动点P，连结DP，作射线PQ⊥DP，PQ交BC于点E，设AP＝x，BE＝y（1）试写出y关于自变量x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）若在线段AB上能找到不同的两点，使按上述作法作得的点E都与点C重合，求m的取值范围，并用m表示相应的的长。分析：若作DF⊥AB于点F，显然，ΔDFP~ΔPBE，从而有，即，则可得到y关于x的函数关系式，进而可以解出（2）。解：（1）作DF⊥AB于点F，则∠DPF＝180°―90°―∠QPB，因为∠ABC＝90°，所以∠PEB＝180°―90°―∠QPB所以∠DPF＝∠PEB又∠DFP＝∠PBE＝90°所以所以由FB＝CD＝6，AB＝8，得AF＝2，FP＝x－2，PB＝8－x又，所以有所以（2）所作射线与BC的交点E与点C重合，即从而有即由于线段AB上能找到两个不同的点与，也就是说有两个不同的x的值，即上述方程有两个不同的实根。故，即又二次根式中的所以m的取值范围是解方程，得所以或例6.在直角坐标系中，以点为圆心，为半径的圆与x轴交于B、C两点，与y轴交于D、E两点。（1）求D点的坐标；（2）若B、C、D三点在抛物线上，求这个抛物线的解析式；（3）若⊙A的切线交x轴正半轴于点M，交y轴负半轴于点N，切点为P，且∠OMN＝30°，试判断直线MN是否经过所求抛物线的顶点？说明理由。分析：（1）根据题意，可得OD＝3，从而确定D点坐标；（2）将及D点坐标分别代入抛物线，可用待定系数法求得a、b、c的值，从而确定抛物线解析式；（3）连结AP，由∠PMA＝30°，AP＝可求得从而确定M点坐标， ON＝OM·tan30°可得N点坐标，∴直线MN可确定，将抛物线顶点坐标代入直线MN，左右两边相等时说明抛物线顶点在直线MN上，反之则不在。解：（1）连结AD。根据题意，得∴OD＝3∴D点坐标为（0，）（2）根据题意，得 B、C、D三点在抛物线上解得∴所求得抛物线的解析式为（3）如图，连结AP在RtΔAPM中，∠PMA＝30°，∴M点的坐标为∴N点坐标为（0，）∴直线MN的解析式为又 抛物线∴顶点坐标为（）∴抛物线的顶点在直线MN上例7.如图，有一座抛物线型的拱桥，桥下面处在目前水位时，水面宽AB为20m，如果水位上升3m，就将到达警戒线CD，这时的水面...
