２０１９—２０２０学年度第一学期芜湖市中小学校教育教学质量监控高三数学（理科）参考答案一、选择题：本题共１２小题，每小题５分，共６０分题号１２３４５６７８９１０１１１２答案ＣＢＣＢＤＡＤＡＤＡＣＣ二、填空题：本题共４小题，每小题５分，共２０分１３８１４２４１１５３２π３槡１６３三、解答题：共７０分１７（本小题满分１２分）（１）面ＰＣＤ⊥面ＡＢＣＤ，ＢＣ⊥ＣＤ，面ＰＣＤ∩面ＡＢＣＤ＝ＣＤ，所以ＢＣ⊥面ＰＣＤ，∴ＢＣ⊥ＤＥ，又 ＰＤ＝ＣＤ，Ｅ为ＰＣ中点，∴ＥＤ⊥ＰＣ，ＢＣ∩ＰＣ＝Ｃ∴ＥＤ⊥面ＰＢＣ故ＥＤ⊥ＢＰ５分………………………………………（２）以Ｄ为坐标原点，ＤＡ，ＤＣ，ＤＰ分别为ｘ轴，ｙ轴和ｚ轴建立空间直角坐标系，由（１）可知，ＢＤ在平面ＰＢＣ的射影为ＥＢ，即∠ＤＢＥ＝３０°，不妨设ＣＤ＝２，由ＰＤ＝ＣＤ槡＝２ＤＥ得ＥＤ槡＝２，∴ＢＤ槡＝２２，故ＢＣ＝２，易得Ｄ（０，０，０），Ｐ（０，０，２），Ｃ（０，２，０），Ｂ（２，２，０）∴ＰＢ→＝（２，２，－２），ＰＣ→＝（０，２，－２），ＤＢ→＝（２，２，０），设平面ＰＢＣ与平面ＰＢＤ的法向量分别为ｎ１→＝（ｘ１，ｙ１，ｚ１）和ｎ２→＝（ｘ２，ｙ２，ｚ２），则ｎ１→＝（０，１，１）由ｎ２→·ＰＢ→＝（ｘ２，ｙ２，ｚ２）·（２，２，－２）＝２ｘ２＋２ｙ２－２ｚ２＝０ｎ２→·ＤＢ→＝（ｘ２，ｙ２，ｚ２）·（２，２，０）＝２ｘ２＋２ｙ２{＝０，令ｙ２＝１，则ｘ２＝－１，ｚ２＝０，∴ｎ１→＝（－１，１，０））页４共（页１第案答考参）理（学数级年三高市湖芜∴ｃｏｓ＜ｎ１→，ｎ２→＞＝１２，所以二面角Ｃ－ＰＢ－Ｄ的大小６０°１２分…………………………………………………１８（本小题满分１２分）（１）ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ（ｃｏｓｘｃｏｓπ６＋ｓｉｎｘｓｉｎπ６）－１４＝槡３２ｓｉｎｘｃｏｓｘ＋１２ｓｉｎ２ｘ－１４＝槡３４ｓｉｎ２ｘ－１４ｃｏｓ２ｘ＝１２ｓｉｎ（２ｘ－π６）所以函数ｆ（ｘ）周期为Ｔ＝π．６分…………………………………………………………（２）ｆ（α）＝１２ｓｉｎ（２α－π６）＝２５，所以ｓｉｎ（２α－π６）＝４５因为α∈（０，π４），得２α－π６∈（－π６，π３），所以ｃｏｓ（２α－π６）＝３５ｓｉｎ２α＝ｓｉｎ［（２α－π６）＋π６］＝ｓｉｎ（２α－π６）ｃｏｓπ６＋ｃｏｓ（２α－π６）ｓｉｎπ６＝４５×槡３２＋３５×１２＝槡４３＋３１０．１２分………………………………………………………１９（本小题满分１２分）（１）由题意可得｜ＭＰ｜＋｜ＮＰ｜＝｜ＰＱ｜＋｜ＮＰ｜＝４＞｜ＭＮ｜＝２，所以动点Ｐ的轨迹是以Ｍ，Ｎ为焦点，长轴长为４的椭圆，即曲线Ｃ的方程为：ｘ２４＋ｙ２３＝１５分……………………………………………………（２）由题意可设ｌ２的方程为ｘ＝ｔｙ＋１联立方程得ｘ２４＋ｙ２３＝１ｘ＝ｔｙ{＋１（３ｔ２＋４）ｙ２＋６ｔｙ－９＝０设Ｄ（ｘ１，ｙ１），Ｅ（ｘ２，ｙ２），则由根与系数关系有ｙ１＋ｙ２＝－６ｔ３ｔ２＋４ｙ１·ｙ２＝－９３ｔ２{＋４所以｜ＤＥ｜＝１＋ｔ槡２（ｙ１＋ｙ２）２－４ｙ１ｙ槡２＝１＋ｔ槡２（－６ｔ３ｔ２＋４）２－４－９３ｔ２槡＋４＝１２（１＋ｔ２）３ｔ２＋４同理｜ＡＢ｜＝１２（１＋ｔ２）３ｔ２＋４ｌ１与ｌ２的距离为ｄ＝２１＋ｔ槡２９分…………………………………………………………）页４共（页２第案答考参）理（学数级年三高市湖芜所以四边形ＡＢＤＥ面积为Ｓ＝２４×１＋ｔ槡２３ｔ２＋４令１＋ｔ槡２＝ｕ（ｕ≥１）得Ｓ＝２４ｕ３ｕ２＋１＝２４３ｕ＋１ｕ当且仅当ｕ＝１，即ｔ＝０时，ＳＡＢＤＥ面积取最大值为６１２分……………………………２０（本小题满分１２分）（１）Ｘ的可能取值集合为｛０，２，４，６，８｝．３分…………………………………………………可用列表或树状图列出１，２，３，４的一共２４种排列，计算每种排列下的Ｘ的值，在等可能的假定下，得Ｘ０２４６８Ｐ１２４１８７２４３８１６６分…ＥＸ＝０×１２４＋２×３...
