初三数学二次函数综合题一.本周教学内容：二次函数综合题例1.已知抛物线与x轴的交点为A、B（B在A的右边），与y轴的交点为C。（1）写出时与抛物线有关的三个正确结论；（2）当点B在原点的右边，点C在原点的下方时，是否存在△BOC为等腰三角形的情形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。（3）请你提出一个对任意的m值都能成立的正确命题（说明：根据提出问题的水平层次，得分略有差异）。解：（1）当时，抛物线的解析式为正确的结论有：①抛物线的解析式为；②开口向下；③顶点坐标为（1，1）；④抛物线经过原点；⑤与x轴另一个交点的坐标是（2，0）；⑥对称轴为直线等。（2）存在。当时，，即有 点B在原点右边 当时，，点C在原点下方当时，或（不合要求，舍去）∴存在△BOC为等腰三角形的情形，此时（3）如①对任意的m，抛物线的顶点都在直线上；②对任意的m，抛物线与x轴的两个交点间的距离是一个定值；③对任意的m，抛物线与x轴的两个交点的横坐标之差的绝对值为2。例2.已知抛物线与x轴交于点（1）若点在抛物线上，求m的值；（2）若抛物线与抛物线关于y轴对称，点，都在抛物线上，则的大小关系是___________（请将结论写在横线上，不要写解答过程）；（3）设抛物线的顶点为M，若△AMB是直角三角形，求m的值。解：（1） 点，在抛物线上（2）（3）解法1： 抛物线开口向上，且与x轴交于点 △AMB是直角三角形，又AM＝MB∴∠AMB＝90°，△AMB是等腰直角三角形过M作MN⊥x轴，垂足为N，则N（1，0）又NM＝NA或（不合题意，舍去）解法2：又NM＝NA＝NB解得：或（不合题意，舍去）例3.矩形OABC在直角坐标系中的位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A（6，0）、C（0，3），直线与BC边相交于点D。（1）求点D的坐标；（2）若抛物线经过D、A两点，试确定此抛物线的表达式；（3）P为x轴上方（2）中抛物线上一点，求△POA面积的最大值；（4）设（2）中抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点Q为对称轴上一动点，以Q、O、M为顶点的三角形与△OCD相似，求符合条件的Q点的坐标。解：（1）由题知，直线与BC交于点D（x，3)把y＝3代入中得，∴D（4，3）（2） 抛物线经过D（4，3）、A（6，0）两点把分别代入中得：解之得：∴抛物线的解析式：（3）因△POA底边OA＝6∴当有最大值时，点P须位于抛物线的最高点，∴抛物线顶点恰为最高点的最大值（4）抛物线的对称轴与x轴的交点，符合条件 CB∥OA，，该点坐标为过点O作OD的垂线交抛物线的对称轴于点 对称轴平行于y轴在和中 点位于第四象限因此，符合条件的点有两个，分别是例4.如图，直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到。（1）在图中画出；（2）求经过三点的抛物线的解析式。解：（1）（2）设该抛物线的解析式为：由题意知三点的坐标分别是解这个方程组得∴抛物线的解析式是：例5.二次函数的图像经过点A（3，0），B（2，-3），并且以为对称轴。（1）求此函数的解析式；（2）作出二次函数的大致图像；（3）在对称轴上是否存在一点P，使△PAB中PA＝PB，若存在，求出P点的坐标，若不存在，说明理由。解：（1）解得：解析式为：（2）（3）存在作AB的垂直平分线交对称轴于点P，连结PA、PB，则PA＝PB设P点坐标为（1，m），则解得：∴点P的坐标为例6.如图，已知直线分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，过C作CD⊥x轴，D为垂足。（1）求点A、B的坐标和AD的长；（2）求过B、A、C三点的抛物线的解析式。解：（1）在中分别令得A（1，0），B（0，2）易证∴AD＝OB＝2（2） A（1，0），B（0，2），且由（1）得C（3，1）设过A、B、C三点的抛物线为解得例7.如图，在直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A（0，2），O（0，0），B（4，0），把△AOB绕O点按逆时针方向旋转90°得到△COD。（1）求C、D两点的坐标；（2）求经过C、D、B三点的抛物线的解析式；（3）设（2）中抛物线的顶点为P，AB的中点为M，试判断△PMB的钝角三角形、直角三角形还是锐角三角形，并说明理由。解：（1）由旋转的性质可知：∴C、D两点的坐标分别为（2）设所求抛物线的解析式为根据题意，得解得∴所求抛...
