雅安市2017—2018学年下期期末检测高中二年级数学(理科)试题参考答案一、选择题二、填空13.-i14.1115.16.三、简答题17.解:的定义域为,,.....................4分由题意可得解得:,...........................6分∴,显然在上是减函数,且,.......7分所以当时,单调递增;当时,单调递减...............................8分所以的单调增区间是,的单调减区间是.............10分18.解:(1)由题意得该顾客没有中奖的概率为=,....................4分∴该顾客中奖的概率为:P=1﹣=,∴该顾客中奖的概率为................................................8分(Ⅱ)根据题意可得:P(X=100)==..............................................12分19.解设PA=1,以A为原点,射线AB,AC,AP分别为x,y,z轴正向建立空间直角坐123456789101112CCBCBDACCAAB标系(如图).---------...........................................-----------3分则P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),又AN=AB,M、S分别为PB、BC的中点,∴N(,0,0),M(1,0,),S(1,,0),(1)CM=(1,-1,),SN=(-,-,0),∴CM·SN=(1,-1,)·(-,-,0)=0,因此CM⊥SN.------------------------...................------------6分(2)NC=(-,1,0),设a=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量,∴CM·a=0,NC·a=0.则∴取y=1,则得=(2,1,-2).-------------...............----------8分平面NBC的法向量因为平面NBC与平面CMN所成角是锐二面角.............................10分所以平面NBC与平面CMN所成角的余弦值为.--------------....--------12分.20.解(1)记“该考生在第一次抽到甲组题”为事件A,“该考生第二次和第三次均抽到乙组题”为事件B,则------------------.................---2分所以该考生在第一次抽到甲组题的条件下,第二次和第三次均抽到乙组题的概率为-----------------------........................----5分(2)X的可能取值为:0,10,20,30,则-----------......---------8分的分布列为X0102030P的数学期望为---------------------12分21.解(1)取AD的中点O,连接PO,CO.因为PA=PD,所以PO⊥AD.又因为PO⊂平面PAD,平面PAD⊥平面ABCD,所以PO⊥平面ABCD.因为CO⊂平面ABCD,所以PO⊥CO.因为AC=CD,所以CO⊥AD.如图,建立空间直角坐标系O-xyz.-------......................-------3分由题意得,A(0,1,0),B(1,1,0),C(2,0,0),D(0,-1,0),P(0,0,1)-----4分设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则即令z=2,则x=1,y=-2.所以n=(1,-2,2)-----------------------..............------------6分又PB=(1,1,-1),所以cos〈n,PB〉==-.所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为.------...........---------8分(2)设M是棱PA上一点,则存在λ∈[0,1]使得AM=λAP.---..........-----9分因此点M(0,1-λ,λ),BM=(-1,-λ,λ).因为BM⊄平面PCD,所以要使BM∥平面PCD当且仅当BM·n=0,即(-1,-λ,λ)·(1,-2,2)=0.解得λ=.所以在棱PA上存在点M使得BM∥平面PCD,此时=.-------------------............-------12分。22.解:(1)在中,取,得,------10分又,所以-----------------------------1分从而,,.又,所以,---------------------3分(2).令,则.所以,时,,单调递减,-----------------------------5分故时,.所以,时,……………………...........................……6分(3).①当时,在上,,递增,所以,至多只有一个零点,不合题意;……………………….......……………7分②当时,在上,,递减,所以,也至多只有一个零点,不合题意;………………………….......………8分③当时,令,得,.此时,在上递减,上递增,上递减,所以,至多有三个零点.………10分因为在上递增,所以.又因为,所以,使得------------........---11分又,,所以恰有三个不同的零点:,,.综上所述,当存在三个不同的零点时,的取值范围是.....-------12分