雅安市2017—2018学年下期期末检测高中二年级数学(理科)试题参考答案一、选择题二、填空13.－i14.1115.16.三、简答题17．解：的定义域为，,.....................4分由题意可得解得：，...........................6分∴，显然在上是减函数，且，.......7分所以当时，单调递增；当时，单调递减...............................8分所以的单调增区间是，的单调减区间是.............10分18．解：（1）由题意得该顾客没有中奖的概率为=，....................4分∴该顾客中奖的概率为：P=1﹣=，∴该顾客中奖的概率为．...............................................8分（Ⅱ）根据题意可得：P（X=100）==..............................................12分19.解设PA＝1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐123456789101112CCBCBDACCAAB标系(如图)．---------...........................................-----------3分则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，又AN＝AB，M、S分别为PB、BC的中点，∴N(，0,0)，M(1,0，)，S(1，，0)，(1)CM＝(1，－1，)，SN＝(－，－，0)，∴CM·SN＝(1，－1，)·(－，－，0)＝0，因此CM⊥SN.------------------------...................------------6分(2)NC＝(－，1,0)，设a＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，∴CM·a＝0，NC·a＝0.则∴取y＝1，则得＝(2,1，－2)．-------------...............----------8分平面NBC的法向量因为平面NBC与平面CMN所成角是锐二面角.............................10分所以平面NBC与平面CMN所成角的余弦值为.--------------....--------12分.20.解（1）记“该考生在第一次抽到甲组题”为事件A，“该考生第二次和第三次均抽到乙组题”为事件B，则------------------.................---2分所以该考生在第一次抽到甲组题的条件下，第二次和第三次均抽到乙组题的概率为-----------------------........................----5分（2）X的可能取值为：0,10,20,30，则-----------......---------8分的分布列为X0102030P的数学期望为---------------------12分21.解(1)取AD的中点O，连接PO，CO.因为PA＝PD，所以PO⊥AD.又因为PO⊂平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD.因为CO⊂平面ABCD，所以PO⊥CO.因为AC＝CD，所以CO⊥AD.如图，建立空间直角坐标系O-xyz.-------......................-------3分由题意得，A(0,1,0)，B(1,1,0)，C(2,0,0)，D(0，－1,0)，P(0,0,1)-----4分设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，则即令z＝2，则x＝1，y＝－2.所以n＝(1，－2,2)-----------------------..............------------6分又PB＝(1,1，－1)，所以cos〈n，PB〉＝＝－.所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为.------...........---------8分(2)设M是棱PA上一点，则存在λ∈[0,1]使得AM＝λAP.---..........-----9分因此点M(0,1－λ，λ)，BM＝(－1，－λ，λ).因为BM⊄平面PCD，所以要使BM∥平面PCD当且仅当BM·n＝0，即(－1，－λ，λ)·(1，－2,2)＝0.解得λ＝.所以在棱PA上存在点M使得BM∥平面PCD，此时＝.-------------------............-------12分。22.解：（1）在中，取，得，------10分又，所以-----------------------------1分从而，，．又，所以，---------------------3分（2）．令，则．所以，时，，单调递减，-----------------------------5分故时，．所以，时，……………………...........................……6分（3）．①当时，在上，，递增，所以，至多只有一个零点，不合题意；……………………….......……………7分②当时，在上，，递减，所以，也至多只有一个零点，不合题意；………………………….......………8分③当时，令，得，．此时，在上递减，上递增，上递减，所以，至多有三个零点．………10分因为在上递增，所以．又因为，所以，使得------------........---11分又，，所以恰有三个不同的零点：，，．综上所述，当存在三个不同的零点时，的取值范围是.....-------12分
