初三数学圆的基本知识知识精讲一一.本周教学内容：圆的基本知识（一）（一）知识要点1.圆与点、圆与直线、圆与圆的位置关系。圆的切线垂直于过切点的半径，它的逆命题也成立。两圆相交时，连心线垂直平分公共弦，两圆的外（内）公切线长相等。2.与圆有关的角（1）圆心角：顶点在圆心、圆心角与它所对的弧的度数相等。（2）圆周角：顶点在圆上，圆周角等于同弧上圆心角的一半。（3）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切，弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。3.圆与三角形、四边形、正多边形的关系（1）三角形有且只有一个外接圆和一个内切圆，它们的圆心分别叫三角形的外心和内心。（2）圆的内接四边形对角互补，外角等于其内对角。（3）正多边形有外接圆和内切圆。（4）圆柱的侧面展开图是矩形，圆锥的侧面展开图是扇形。4.与圆有关的定理垂径定理、切线长定理、圆周角定理、弦切角定理、相交弦定理、切割线定理。（二）思想方法总结1.转化思想能将复杂图形转化为简单图形，将正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形的问题来解决。量，求一个量，运用方程的思想。（三）有关辅助线的做法一些辅助线的添法概括如下：遇直径，作直径上的圆周角；遇切线，作过切点的半径或连结圆上某一点构成弦切角；证明圆周角相等，常用同弧上的圆心角过渡或作同弧上的圆周角；求弦长、弦心距、半径，常作垂直于弦的半径，连结圆心和弦的端点构造直角三角形；证明线段等积或成比例，一般构造相交弦、相交割线或相似三角形；遇到四个点在同一圆周上，要考虑到顺次连结四点构成圆内接四边形，用其性质解题；遇到圆外切三角形、多边形，应注意到切线长定理的应用。【典型例题】1.分析：根据题意，需要自己画出图形进行解答，在画图时要注意AB与AC有不同的位置关系。解：由题意画图，分AB、AC在圆心O的同侧、异侧两种情况讨论，当AB、AC在圆心O的异侧时，如下图所示，过O作OD⊥AB于D，过O作OE⊥AC于E，∴∠OAD=30°，∠OAE=45°，故∠BAC=75°，当AB、AC在圆心O同侧时，如下图所示，同理可知∠OAD=30°，∠OAE=45°，∴∠BAC=15°点拨：本题易出现只画出一种情况，而出现漏解的错误。例2.如图：△ABC的顶点A、B在⊙O上，⊙O的半径为R，⊙O与AC交于D，（1）求证：△ABC是直角三角形；分析：则AF=FB，OD⊥AB，可证DF是△ABC的中位线；（2）延长DO交⊙O于E，连接AE，由于∠DAE=90°，DE⊥AB，∴△ADF解：（1）证明，作直径DE交AB于F，交圆于E又 AD=DC∴AB⊥BC，∴△ABC是直角三角形。（2）解：连结AE DE是⊙O的直径∴∠DAE=90°而AB⊥DE，∴△ADF∽△EDA例3.如图，在⊙O中，AB=2CD，那么（）分析：解：解法（一），如图，过圆心O作半径OF⊥AB，垂足为E， 在△AFB中，有AF+FB>AB∴选A。解法（二），如图，作弦DE=CD，连结CE在△CDE中，有CD+DE>CE∴2CD>CE AB=2CD，∴AB>CE∴选A。例4.求CD的长。分析：连结BD，由AB=BC，可得DB平分∠ADC，延长AB、DC交于E，易得△EBC∽△EDA，又可判定AD是⊙O的直径，得∠ABD=90°，可证得△ABD≌△EBD，得DE=AD，利用△EBC∽△EDA，可先求出CE的长。解：延长AB、DC交于E点，连结BD ⊙O的半径为2，∴AD是⊙O的直径∴∠ABD=∠EBD=90°，又 BD=BD∴△ABD≌△EBD，∴AB=BE=1，AD=DE=4 四边形ABCD内接于⊙O，∴∠EBC=∠EDA，∠ECB=∠EAD例5.于H，交⊙O于点E，交AC于点F，P为ED的延长线上一点。（1）当△PCF满足什么条件时，PC与⊙O相切，为什么？分析：由题意容易想到作辅助线OC，（1）要使PC与⊙O相切，只要使∠PCO=90°，问题转化为使∠OCA+∠PCF=∠FAH+∠AFH就可以了。解：（1）当PC=PF，（或∠PCF=∠PFC）时，PC与⊙O相切，下面对满足条件PC=PF进行证明，连结OC，则∠OCA=∠FAH， PC=PF，∴∠PCF=∠PFC=∠AFH， DE⊥AB于H，∴∠OCA+∠PCF=∠FAH+∠AFH=90°即OC⊥PC，∴PC与⊙O相切。即AD2=DE·DF点拨：本题是一道条件探索问题，第（1）问是要探求△PCF满足什么条件时，PC与⊙O相切，可以反过来，把PC与⊙O相切作为条件，探索△PCF的形状，显然有多个答案；第（2）问也可将AD2=DE·DF作为条件，寻找两个三角形相似，探索出点D的位置。例6.D作...
