初三数学用推理方法研究三角形一.本周教学内容：用推理方法研究三角形——角平分线、线段的垂直平分线、逆命题、逆定理［知识要点］（一）角平分线1.定理（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。（2）到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上。2.三角形三条角平分线相交于一点，这一点称为三角形的内心。（二）线段的垂直平分线1.定理（1）线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。（2）到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。2.三角形的三边的垂直平分线相交于一点，这一点是三角形的外心。（三）逆命题、逆定理1.概念（1）互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题。（2）如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理。2.定理（1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。（2）勾股定理的逆定理：如果三角形一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形。［学法建议］学习角平分线时，要理解添加辅助线的目的，学几何命题的证明方法和证明的叙述格式，并能进行总结归纳。学习线段的中垂线时，要掌握两个定理的联系和区别，在利用线段中垂线定理证明几何命题时要避免再去证三角形全等。学习逆命题、逆定理时，要分析命题的题设和结论，从而理解互逆命题的实质，能熟练地说出一个命题的逆命题，并能判断真假性，掌握勾股定理和其逆定理并能熟练应用。【典型例题】例1.如图，BE、CE分别是△ABC的外角平分线，且相交于点E。求证：E在∠A的平分线上。分析：要证E在∠A的平分线上，只需证E到∠A两边距离相等即可，因此需作辅助线EM、EN、EH，使它们分别与AB、AC、BC垂直，只需证明EM＝EN。证明：过E作EM⊥AB交AB的延长线于M，过E作EN⊥AC交AC的延长线于N，过E作EH⊥BC于H E在∠MBC的平分线上且EM⊥AB，EH⊥BC∴EM＝EH（角平分线上的点到角的两边距离相等）同理，EN＝EH∴EM＝EN∴E在∠A的平分线上（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）说明：在有关角平分线的问题中，一般过角平分线上的点向两边作垂线来解决问题。例2.如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于D，CE⊥BD的延长线于E。求证：BD＝2CE分析：要证明BD＝2CE，常需找出线段或2CE，由条件“BD平分∠ABC和CE⊥BD”想到延长CE、BA相交于F，先证明CF＝2CE，再证明BD＝CF即可，这需证明△ABD≌△ACF。延长CE、BA相交于F在△FBE和△CBE中∴△FBE≌△CBE（ASA） BE⊥CF，AC⊥AB∴∠2＋∠F＝90°，∠1＋∠F＝90°∴∠1＝∠2在△ABD和△ACF中∴△ABD≌△ACF（ASA）∴BD＝CF∴BD＝2CE说明：（1）在题目中如果含有角平分线且含有和这条角平分线垂直的条件时，要想到翻折图象，此题所作的辅助线，实质上是将以BE所在直线为轴翻折过去得。（2）此题图中，可以把BE、CA看成是△FBC的两条高，注意“∠1＝∠2”这个结论。例3.如图，直角梯形ABCD，AB∥CD，∠B＝90°，E是BC中点，DE平分∠ADC。求证：AE平分∠DAB分析：要证AE平分∠DAB，只需证明点E在∠DAB的平分线上即可，过E作EF⊥AD于F，由条件可得EF＝EC＝EB，则点E在∠DAB的平分线上，即AE平分∠DAB。证明：过E作EF⊥AD于F EC⊥DC，DE平分∠ADC∴EC＝EF（角平分线的点到角的两边距离相等） BE＝CE∴BE＝EF EF⊥AD，BE⊥AB∴AE平分∠DAB（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）说明：要善于利用角平分线的这两个定理解决有关角平分线的问题。例4.如图，在中，∠C＝90°，BD是∠B的平分线交AC于D，CE⊥AB于E交BD于O，过O作FG∥AB，交BC于F，交AC于G。求证：CD＝AG分析：过点D作DH⊥AB于H，可证∠1＝∠2，从而CO＝CD，而CD＝DH，因此CO＝DH，可证：，则CG＝DA，CD＝AG。证明：过点D作DH⊥AB于H BD平分∠CBA，∠ACB＝90°∴CD＝DH（角平分线上的点到角两边距离相等） BD平分∠ABC∴∠4＝∠5∴∠2＋∠4＝∠5＋∠3＝90°∴∠2＝∠3又∠1＝∠3∴...
