空间向量高考题1•如下列图，在长方体ABCD—ABCD中,AB=4,AD=3,AA=2.E、F分别是线段AB、11111BC上的点，且EB=FB=1.(I〕求二面角C—DE—C的正切值；〔II〕求直线EC与FD所成角的余弦值.1112、.如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形,AB=8,AD=4历，侧面PAD为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°.(I〕求四棱锥P—ABCD的体积；〔II〕证实PA丄BD.4、如图，a丄B,aGB=l,AGa,BGB，点A在直线l上的射影为A,点B在直1线l上的射影为B,AB=2,AA=1,BB=忑，求：111AC(I〕直线AB分别与平面a,B所成的角的大小;(II〕二面角A-AB-B的11证Ta丄B,aCB=l,AA丄l,BB丄l,AAA丄B,BB丄a,1111那么ZBAB,ZABA分别是AB与a和B所成的角.11RtABBA中，BB二旋，AB=2,AsinZBAB二川月2,111・・・ZBAB=45°.1RtAAAB中，AA=1,AB=2,11M_1•••sinZABA二卫02,1•ZABA=301故AB与平面a,B所成的角分别是45°,30（II）如图，建立坐标系，那么A〔0,0,0〕，A〔0,0,1〕，B〔0,1,0〕，11在AB上取一点F〔x,y,z〕，那么存在teR,使得乔=t忑，即〔x,y,z—1〕=t（眨丄T）,・点F的坐标为（J^t,t,1一t）.〔旋，1,0〕•要使*1刃丄肿，须*1恥朋=0,即〔逅，t,1—t〕・〔庞，1,丄並_丄三一、亞—（1—1）=0，解得t=玄，・•・点F的坐标为（百厂丁盲）A卫』=（W]1设E为AB的中点，那么点E的坐标为〔0,尸！!〕•・•・1—1〕=0,2t+t13'4'4).冷前■忑丄）■（屈丄—1〕=2—丄—丄=°,又444244A丽丄屁，AZAFE为所求二面角的平面角.1_75・•・二〕如图，建立直角坐标系。―心兀其中原点。为』C的中4444444戸•辭「2,19)2|11又cosZAFE=RV1616'16'?；1616卜一i1-1+1A—AB—B的大小为arccos号.115、如图，在直三棱柱屈中，肿二眄□、也分别为昭、g的中点.⑴证实：ED为异面直线*耳与的公垂线；〔11〕设皿1=灵旋/厲求二面角人-肋-G的大小设机2专那么C(—氓QQ〕,®(AQ,2)应®Q,汶D〔Q,眾专iB=(00,0),西=((Wc),ED*西=°」FD丄BB又旋i=(-2a,0,2c)购■M]=0,.・.ED丄AC所以閃是异面直线朋1与的公垂线.1〔II〕不妨设哉那么肌㈠2以£(1口织血=(―1厂石=(―1丄0),耳=(叮②，葩■石二①丽•亟二0即后◎丄AB.BC丄卫£又且行门孔£二卫..鸵丄面的HD又丑(°0叭口(°丄1)，6-1口0)纭二(-1Q-1)远二(-1Q1)瓦⑴口，記■忑=Q更•云万=0即EC丄山込ED丄&口又AE^}ED=E，■耽丄面U/Dcos(^CrBC)=^£*^£=1_b_bl^||BC\2,即得丽和丽的夹角为60°,所以二面角为时6、四棱锥P—ABCD的底面为直角梯形,AB〃DC,虫型£=就"，PA丄底面ABCD,且〔I〕证实：面PAD丄面PCD；〔II〕求人。与PB所成的角；〔III〕求面AMC与面BMC所成二面角的大小.证：由于PAIAD,PA丄AB,AD丄AB，以A为坐标原点,AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，那么各点坐标为丄A(0,0,0),B(0,2,0),C(l,l,0),D(l,0,0),P(0,0,l),M(0,l,空).⑴证实：因乔=(0,0,1),亦=(0,1,0),故乔・亦=0,所以AP丄DC.又由题设知AD丄DC,且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC丄面PAD.又DC在面PCD上,故面PAD丄面PCD.〔II〕解：因恥=(1,1,0),刊=(0,2,—1),此_1乔&,1,2__5),故|/C|二旋，|F0|二巧，皿•PB=2,所以cos〈丿口•PB＞二I丿。「IPRI二亍迥由此得AC与PB所成的角为arccos孑〔III〕解：在MC上取一点N(x,y,z),那么存在入GR,使丽=入莎，__2丄眈=(l-x,l-y,-z),二(1,0,-戈)，2=1-入，y=l,z=龙入.__丄4要使AN丄MC只需殛・莎=0,即x-3z=0,解得入二E.412_可知当入=£时,N点坐标为(弓，1,可，能使旋・融=0.由册•血=0,SN•MC=0得AN丄MC,BN丄MC.所以ZANB为所求二面角的平面角.AN-BN_22・°・cos〈」M,*"＞二*护卜丨'故所求的二面角为arccos(—3).证：以D为坐标原点，DA的长为单位，建立如下7、如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形,PD丄底面ABCD,AD二PD,E、F分别为CD、PB的中点.〔I〕求证：EF丄平面PAB；〔II〕设AB=V^BC,求AC与平面AEF所成的角的大小.(I〕证实:设E〔a,0,0〕其中a>0,那么C〔2a,0,0〕，A〔0,1,0〕B〔2a,l,0〕，P〔0,0,1〕，F2丄〔a,2,2〕.丄2EF=〔0,2,2〕，FB=〔2a,1,T〕，丿月=〔2a,0,0〕.丽・西=0,・・・EF丄PB.直角坐标AB・EH=O,・・・EF丄AB又PB匸平面PAB,AB匸平面PAB,PBGAB二B.・・・EF丄平面PAB.42〔II〕解：由AB二卮BC，得a=2....
