高中数学学习材料(灿若寒星精心整理制作)《数学》必会基础题型——《平面向量》【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】1.向量:既有大小又有方向的量。记作:AB或a。2.向量的模:向量的大小(或长度),记作:||AB或||a。3.单位向量:长度为1的向量。若e是单位向量,则||1e。4.零向量:长度为0的向量。记作:0。【0方向是任意的,且与任意向量平行】5.平行向量(共线向量):方向相同或相反的向量。6.相等向量:长度和方向都相同的向量。7.相反向量:长度相等,方向相反的向量。ABBA。8.三角形法则:ABBCAC;ABBCCDDEAE;ABACCB(指向被减数)9.平行四边形法则:以,ab为临边的平行四边形的两条对角线分别为ab,ab。10.共线定理://abab。当0时,ab与同向;当0时,ab与反向。11.基底:任意不共线的两个向量称为一组基底。12.向量的模:若(,)axy,则22||axy,22||aa,2||()abab13.数量积与夹角公式:||||cosabab;cos||||abab14.平行与垂直:1221//ababxyxy;121200ababxxyy题型1.基本概念判断正误:(1)共线向量就是在同一条直线上的向量。(2)若两个向量不相等,则它们的终点不可能是同一点。(3)与已知向量共线的单位向量是唯一的。(4)四边形ABCD是平行四边形的条件是ABCD。(5)若ABCD,则A、B、C、D四点构成平行四边形。(6)因为向量就是有向线段,所以数轴是向量。(7)若a与b共线,b与c共线,则a与c共线。(8)若mamb,则ab。(9)若mana,则mn。(10)若a与b不共线,则a与b都不是零向量。(11)若||||abab,则//ab。(12)若||||abab,则ab。题型2.向量的加减运算1.设a表示“向东走8km”,b表示“向北走6km”,则||ab。2.化简()()ABMBBOBCOM。3.已知||5OA,||3OB,则||AB的最大值和最小值分别为、。4.已知ACABAD为与的和向量,且,ACaBDb,则AB,AD。5.已知点C在线段AB上,且35ACAB,则ACBC,ABBC。题型3.向量的数乘运算1.计算:(1)3()2()abab(2)2(253)3(232)abcabc2.已知(1,4),(3,8)ab,则132ab。题型4.作图法球向量的和已知向量,ab,如下图,请做出向量132ab和322ab。ab题型5.根据图形由已知向量求未知向量1.已知在ABC中,D是BC的中点,请用向量ABAC,表示AD。2.在平行四边形ABCD中,已知,ACaBDb,求ABAD和。题型6.向量的坐标运算1.已知(4,5)AB,(2,3)A,则点B的坐标是。2.已知(3,5)PQ,(3,7)P,则点Q的坐标是。3.若物体受三个力1(1,2)F,2(2,3)F,3(1,4)F,则合力的坐标为。4.已知(3,4)a,(5,2)b,求ab,ab,32ab。5.已知(1,2),(3,2)AB,向量(2,32)axxy与AB相等,求,xy的值。6.已知(2,3)AB,(,)BCmn,(1,4)CD,则DA。7.已知O是坐标原点,(2,1),(4,8)AB,且30ABBC,求OC的坐标。题型7.判断两个向量能否作为一组基底1.已知12,ee是平面内的一组基底,判断下列每组向量是否能构成一组基底:A.1212eeee和B.1221326eeee和4C.122133eeee和D.221eee和2.已知(3,4)a,能与a构成基底的是()A.34(,)55B.43(,)55C.34(,)55D.4(1,)3题型8.结合三角函数求向量坐标1.已知O是坐标原点,点A在第二象限,||2OA,150xOA,求OA的坐标。2.已知O是原点,点A在第一象限,||43OA,60xOA,求OA的坐标。题型9.求数量积1.已知||3,||4ab,且a与b的夹角为60,求(1)ab,(2)()aab,(3)1()2abb,(4)(2)(3)abab。2.已知(2,6),(8,10)ab,求(1)||,||ab,(2)ab,(3)(2)aab,(4)(2)(3)abab。题型10.求向量的夹角1.已知||8,||3ab,12ab,求a与b的夹角。2.已知(3,1),(23,2)ab,求a与b的夹角。3.已知(1,0)A,(0,1)B,(2,5)C,求cosBAC。题型11.求向量的模1.已知||3,||4ab,且a与b的夹角为60,求(1)||ab,(2)|23|ab。2.已知(2,6),(8,10)ab,求(1)||,||ab,(5)||ab,(6)1||2ab。3.已知||1||2ab,,|32|3ab,求|3|ab。题型12.求单位向量【与a平行的单位向量:||aea】1.与(12,5)a平行的单位向量是。2.与1(1,)2m平行的单位向量是。题型13.向量的平行与垂直1.已知(6,2)a,(3,)bm,当m为何值时,(1)//ab?(2)ab?2.已知(1,2)a,(3,2)b,(1)k为何值时,向量kab与3ab垂直?(2)k为何值时,向量kab与3ab平行?3.已知a是非零向量,abac,且bc,求证:()abc。题型14.三点共线问题...