高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）导数专题之导数的综合应用——求参问题方法总结1、已知函数()(1)ln1fxxxx.若2'()1xfxxax，求a的取值范围；解析：11()ln1lnxfxxxx，()ln1xfxxx,题设2()1xfxxax等价于lnxxa.令()lngxxx，则1()1gxx当01x＜＜，'()0gx＞；当1x≥时，'()0gx≤，1x是()gx的最大值点，()(1)1gxg≤综上，a的取值范围是1,.2、已知函数)ln()(axxxf的最小值为0，其中.0a1、分离参数：转化为恒成立问题，即大于最大，则大于所有；小于最小，则小于左右；2、构造函数：转化为恒成立问题，对参数进行分类讨论；3、利用不等式：整合函数解析式；几个常见不等式：lnx≤x-1(x>0)ex≥x+1sinx≤x(x≥0)（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若对任意的),,0[x有)(xf≤2kx成立，求实数k的最小值。解：(1)()fx的定义域为(,)a()ln()fxxxa11()101xafxxaaxaxa()01,()01fxxafxaxa得：1xa时，min()(1)101fxfaaa（2）设22()()ln(1)(0)gxkxfxkxxxx则()0gx在[0,+)x上恒成立min()0(0)gxg（*）(1)1ln200gkk1(221)()2111xkxkgxkxxx①当1210()2kk时，0012()00()(0)02kgxxxgxgk与（*）矛盾②当12k时，min()0()(0)0gxgxg符合（*）得：实数k的最小值为123、设函数()cos,[0,]fxaxxx.(1)讨论()fx的单调性;(2)设()1sinfxx,求a的取值范围.解:()sinfxax.(Ⅰ)因为[0,]x,所以0sin1x.当1a时,()0fx,()fx在[0,]x上为单调递增函数;当0a时,()0fx,()fx在[0,]x上为单调递减函数;当01a时,由()0fx得sinxa,由()0fx得0arcsinxa或arcsinax;由()0fx得arcsinarcsinaxa.所以当01a时()fx在[0,arcsin]a和[arcsin,]a上为为单调递增函数;在[arcsin,arcsin]aa上为单调递减函数.(Ⅱ)因为()1sincos1sin1sincosfxxaxxxaxxx当0x时,01sin0cos00恒成立当0x时,min1sincos1sincos1sincos[]xxxxaxxxaaxx令1sincos()(0)xxgxxx,则22(cossin)1sincos(1)cos(1)sin1()xxxxxxxxxgxxx又令()(1)cos(1)sin1cxxxxx,则()cos(1)sinsin(1)cos(sincos)cxxxxxxxxxx则当3(0,)4x时,sincos0xx,故()0cx,()cx单调递减当3(,]4x时,sincos0xx,故()0cx,()cx单调递增所以()cx在(0,]x时有最小值3()214c,而0lim()(10)cos0(01)sin010xcx,lim()()(1)10xcxc综上可知(0,]x时,()0()0cxgx,故()gx在区间(0,]单调递所以min2[()]()gxg故所求a的取值范围为2a.4、已知函数ln1()1xfxxx，当0x，且1x时，ln()1xkfxxx，求k的取值范围。解：22ln1(1)(1)()()(2ln)11xkkxfxxxxxx考虑函数()2lnhxx2(1)(1)kxx(0)x，则22(1)(1)2'()kxxhxx。(i)设0k，由222(1)(1)'()kxxhxx知，当1x时，'()0hx。而(1)0h，故当(0,1)x时，()0hx，可得21()01hxx；当x（1，+）时，h（x）<0，可得211xh（x）>0从而当x>0,且x1时，f（x）-（1lnxx+xk）>0，即f（x）>1lnxx+xk.（ii）设00,故h’（x）>0,而h（1）=0，故当x（1，k11）时，h（x）>0，可得211xh（x）<0,与题设矛盾。（iii）设k1.此时h’（x）>0,而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）>0，可得211xh（x）<0,与题设矛盾。综合得，k的取值范围为（-，0]5、已知函数()fx=axex,其中a≠0.若对一切x∈R,()fx≥1恒成立,求a的取值集合.解：若0a,则对一切0x,()fx1axex,这与题设矛盾,又0a,故0a.而()1,axfxae令11()0,ln.fxxaa得当11lnxaa时,()0,()fxfx单调递减;当11lnxaa时,()0,()fxfx单调递增,故当11lnxaa时,()fx取最小值11111(ln)ln.faaaaa于是对一切,()1xRfx恒成立,当且仅当111ln1aaa.①令()ln,gtttt则()ln.gtt当01t时,()0,()gtgt单调递增;当1t时,()0,()gtgt单调递减.故当1t时,()gt取最大值(1)1g.因此,当且仅当11a即1a时,①式成立.综上所述,a的取值集合为1.
